Bildräume kanonischer Projektion auf Restklassenräume |
| 03.06.2016, 13:14 | jmg | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Bildräume kanonischer Projektion auf Restklassenräume ich grübele schon eine Weile über dieser Aufgabenstellung, habe aber leider noch keinen wirklichen Ansatz ausmachen können, der zumindest zu einer Teillösung führt. Ich habe mir überlegt, einen Ringschluss durchzuführen, also Aussage 1 => Aussage 2 => Aussage 3 => Aussage 1 zu zeigen. Ich denke, ich habe noch Probleme damit, die Rolle des UVR U richtig zu interpretieren. Beispielsweise ist mir nicht klar, wieso (U_1 + U) ^ (U_2 + U) = 0 geltend gemacht können werden sollte. Dies könnte doch höchstens dann der Fall sein, wenn U = {0} ist. In allen anderen Fällen würde ich doch erhalten, dass der Durchschnitt in jedem Fall U selbst enthalten muss, denn sowohl U_1 als auch U_2 enthalten die Null, und die Summe von Null mit jedem Vektor aus U führt direkt auf U selbst - vollkommen unabhängig von der Voraussetzung, unter der ich operiere. (in diesem Fall Aussage 2) Kann mir jemand verraten, wo mein Denkfehler liegt? Liebe Grüße! |
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| 03.06.2016, 18:10 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die kanonische Projektion ist . Wenn Du nun überlegst, wie und definiert ist, sollte die Äquivalenz von 1. und 3. klar sein. Das Restproblem liegt in der Äquivalenz mit der Aussage 2, was vermutlich durch Mengengleicheit (2)=(3) bewiesen werden kann. |
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| 03.06.2016, 18:25 | jmg | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke sehr! Da war ich schlicht auf dem falschen Dampfer, was die Definition der kanonischen Projektion betraf - wir haben diese aus einer anderen Perspektive heraus eingeführt, wobei deine Darstellung natürlich ebenso stimmig und für diese Aufgabenstellung sehr viel nützlicher ist. Damit dürfte sich doch auch direkt der Schluss (1) => (2) ergeben. Schließlich ist (sorry, Latex beherrsche ich noch nicht) phi(U_1) ^ phi(U_2) = 0 => (U_1 + U) ^ (U_2 + U) = 0, also insbesondere (U_1) ^ (U_2 + U) = 0, denn U_1 ist ja schlicht eine Teilmenge (oder sogar ein UVR?) von U_1 + U, nicht wahr? Gruß! |
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| 03.06.2016, 18:30 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das scheint so zu sein ... Teilmenge ja ... UVR weiß ich nicht, müsste man nachprüfen. Bleibt nur noch die Umkehrung 2.--> 3. zu zeigen. Nachtrag: Ist nicht sogar die Summe der beiden UVRe ? Also ganz offensichtlich ein UVR ? Wäre doch schön, wenn die Addition + hier nichts anderes als die VR-Summe wäre. ... Stunden später ... irgendwie raffe ich das jetzt auch nicht mehr. Deine erste Erkenntnis scheint mir nun richtig zu sein, dass U=0 sein muss, damit 3. gilt. Dann ist aber 2. nur für UVRe gültig, deren Summe direkt ist. Ist die Aufgabe vielleicht falsch formuliert 
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| 06.06.2016, 12:48 | jmg | Auf diesen Beitrag antworten » |
Haha, ich habe deine Editierung nicht entdeckt, sondern wollte mich jetzt auch nochmal melden - weil ich auch schlicht nicht voran komme. Der Schluss von (1) auf (3) ist trivial, genauso wie der Schluss von (3) auf (2), aber der Schluss von (2) auf (3) gelingt leider kein Stück weit. 
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| 06.06.2016, 13:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt genau, kann auch gar nicht gehen, denn ich habe soeben ein Gegenbeispiel gefunden. Dann ist aber |
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| 06.06.2016, 14:20 | jmg | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich werde das einmal unserem Prof. mitteilen - mal sehen, was er sagt. 
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| 06.06.2016, 16:19 | jmg | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Aufgabenstellung war in der Tat nicht lösbar.
Mit der neuen Aufgabenstellung sollte es ja nun klappen. 
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| 06.06.2016, 16:40 | jmg | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wobei, irgendetwas stimmt da doch noch immer nicht.
Wir haben bereits festgestellt, dass (3) dasselbe ist wie (1), nur eben entsprechend "ausgeschrieben". Dann ergibt es aber keinerlei Sinn, zu sagen, dass wenn der eine Ausdruck mit 0 identisch ist, automatisch der andere Ausdruck mit U identisch ist und umgekehrt.
Würde ja auch wieder nur dann gelten, wenn U = 0. |
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| 06.06.2016, 17:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kann richtig sein. Projektion ist 0, wenn ihr Bild in U liegt, also folgt 3. aus 1. Vielleicht hatten wir uns von der falschen Aufgabenstellung zu falschen Schlüssen verleiten lassen. |
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| 09.06.2016, 14:50 | jmg | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, es ist sich in der Tat ausgegangen, habe hierfür die volle Punktzahl erhalten. :-) Danke nochmal! |
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