Skalarprodukt und Orthogonalität

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Oggel Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt und Orthogonalität
Hallo,

meine bisherige Lösung zu der Aufgabe:

1. Symetrie:
Ich denke das ist einfach zu zeigen, da man die Produkte und Summen ja einfach vertauschen kann:


2. Bilinear








hier kann ich das a ja auch wieder ausklammern:




3. pos definit




Hier bin ich mir nicht sicher. und ist klar. Da die beiden Produkte größer sind als ist es pos definit?

Um die Länge auszurechnen von habe ich folgendes berechnet:


Aber beim letzten Teil weiß ich nicht so wirklich weiter. Muss man setzen?

Danke schonmal für die Antworten smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt und Orthogonalität
Zitat:
Original von Oggel
Da die beiden Produkte größer sind als ist es pos definit?

Woher weißt du denn, dass das wirklich so ist?

Tipp: . Jetzt denke an die binomischen Formeln.

Zitat:
Original von Oggel
Um die Länge auszurechnen von habe ich folgendes berechnet:

Da komme ich auf etwas anderes; der Bruch in der Wurzel muss quadriert werden.

Zitat:
Original von Oggel
Aber beim letzten Teil weiß ich nicht so wirklich weiter. Muss man setzen?

Ja; das ist ja gerade die Definition von Orthogonalität.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh ok da bin ich nicht drauf gekommen.
Also:
und das ist immer größer 0.

Der Rest des Skalarbeweises soweit richtig?

Bei der Länge:


und die letzte:








Mhh also kann ich ja eigentlich belibig wählen, solange das doppelte von . Ist mein Vektor dann ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Oggel
Der Rest des Skalarbeweises soweit richtig?

Ja, sieht gut aus. (Eigentlich müsste man für die Bilinearität auch noch die Linearität in der zweiten Variablen zeigen, aber wegen der Symmetrie folgt das aus der Linearität in der ersten Variablen.)

Die Länge ist jetzt auch richtig.

Zitat:
Original von Oggel
Mhh also kann ich ja eigentlich belibig wählen, solange das doppelte von . Ist mein Vektor dann ?

Alles richtig bis auf den Vektor am Ende: Richtig wäre .
Da du laut Aufgabenstellung nur einen Vektor (und nicht alle) angeben sollst, die erfüllen, hätte es auch gereicht, wenn du den Vektor nur für ein spezielles angibst.

Und ohne Rechnung hätte man auch sofort sagen können: . Augenzwinkern
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1

Alles richtig bis auf den Vektor am Ende: Richtig wäre .


Mhh das verstehe ich noch nicht. Wieso umgekehrt?

Danke für deine Antworten smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast oben ausgerechnet, dass gelten muss. Und auch in Worten hast du es beschrieben:
Zitat:
Original von Oggel
solange das doppelte von .


Jetzt rechne mal nach: Trifft das auf den Vektor oder auf zu?
 
 
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry. Stand iwie auf dem Schlauch. Habs verstanden!
Danke smile
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