e-Funktion: Herkunft, Anwendung, Zweck

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Spender Auf diesen Beitrag antworten »
e-Funktion: Herkunft, Anwendung, Zweck
Kann mir jemand die Herkunft der e-Funktion erläutern und warum diese so bespnders ist?
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: e-Funktion: Herkunft, Anwendung, Zweck
https://www.google.de/#q=exponentialfunktion

Große Bedeutung z.B. bei bestimmten Wachstumsprozessen und der Ableitung bestimmter Funktionen wie
Spender Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, gegoogelt wurde.

Was ist mit e^x ? Wieso kommt man gerade auf 2,7. Das meinte ich...Wie kam man darauf und wo ist das wichtig ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Spender
Ja, gegoogelt wurde.
...

Bestimmt nur halbherzig Augenzwinkern Es gibt darüber überwältigend viel Informationen!
--------

kann aus vielfältige Weise entstanden sein. Eine ist der Grenzwert der Folge



Daraus folgen die Reihen:



und



--------

Oder:

Ein Kapital von 1 GE wächst bei stetiger (kontinuierlicher) Verzinsung bei einem Zinssatz von 100% nach 1 Jahr genau auf 2,71828.. (= e) GE.

-------

In stetigen Wachstums- und Zerfallsfunktionen spielt als Basis der entsprechenden Exponentialfunktion eine große Rolle.
Diese Funktionen resultieren aus der Lösung der das Wachstum bzw. den Zerfall beschreibenden Differentialgleichungen.

mY+
echnaton Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft dir diese Motivation weiter:

Wir betrachten die Exponentialfunktion und deren Ableitung .

Die eulersche Zahl kann nun als dasjenige definiert werden mit , denn dann stimmt die Exponentialfunktion mit ihrer Ableitung überein.

Jetzt setzen wir und lassen gegen 0 laufen (bedenke: ). Wir erhalten
Der Ausdruck lässt sich mit den Logarithmengesetzen vereinfachen zu
Anstatt gegen 0, kann man auch gegen unendlich laufen lassen.
Es entsteht der bekannte Ausdruck .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Erwähnenswert ist auch der folgende Zugang zum natürlichen Logarithmus bzw. dessen Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion:

Grenzwertbildung der Eulerschen Zahl
 
 
Spender Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
und wenn einem das mit dem lim nicht mehr all zu viel sagt? Wo fang ich dann an?

Es dankt
der Spender
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Überbegriff ist: Exponentialfunktionen
Mit solchen Funktionen werden beispielsweise Vorgänge in der Natur (Stetiges Wachstum eines Waldes, exponentielle, beschränkte, logistische Wachstumsarten - z.B. Temperaturänderung) beschrieben.
Die Basis ist zunächst eine positive, reelle Zahl wie jede andere Basis auch.

Wenn jedoch die Bestandsänderung den gleichen Verlauf hat, wie die Bestandsfunktion selbst, liegt eine spezielle Exponentialfunktion, die e-Funktion vor.
ist die einzige Funktion, die gegenüber ihrer Ableitung invariant ist, d.h. man kann die Funktion so oft ableiten, wie man will, die Ableitungsfunktion ist immer gleich der Funktion selbst.

Damit verläuft bei die Änderungsgeschwindigkeit (Zunahme) des Funktionswertes exakt genau so, wie der Momentanwert der Funktion selbst.
Die Steigung der Tangente in jedem Punkt der e-Funktion ist zahlenmäßig* gleich dem Funktionswert dortselbst.

(*) Abgesehen von der Dimension. Die Steigung ist im Gegensatz zum Funktionswert dimensionslos.

mY+
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