Linear abhängige Teilmengen

03.06.2016, 22:15

Dandelion

Linear abhängige Teilmengen

Meine Frage:
Man betrachte die Teilmenge $\begin{eqnarray*} S:=\left\{ v_{1},v_{2},v_{3} \right\}\subseteq \mathbb R ^{4\times 1} \end{eqnarray*}$ und den davon erzeugten $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Teilraum $\begin{eqnarray*} U:=<S>_{\mathbb R } \leq \mathbb R ^{4\times 1} \end{eqnarray*}$ wobei,
$\begin{eqnarray*} v_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\\ 3 \end{pmatrix} ,v_{2}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}, v_{3}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Man gebe die $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -linear unabhängigen Teilmengen von S an; welche davon sind maximal?
b) Man gebe die in S enthaltenen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Erzeugendensysteme von U an welche davon sind minimal?
c) Man bestimme $\begin{eqnarray*} dim_{\mathbb R } (U) \end{eqnarray*}$ und gebe die in S enthaltenen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Basen von U an.
d) Man ergänze eine der obigen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Basen von U zu einer $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4\times 1} \end{eqnarray*}$ und stelle die Einheitsvektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4\times 1} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination dar!

Meine Ideen:
zu a)
Muss ich hier jetzt wirklich jede Teilmenge von S auf lineare Unabhängigkeit prüfen? Oder gibt es da einen einfacheren Weg?

Die Teilmengen wären ja: $\begin{eqnarray*} \left\{\right\} ,\left\{ v_{1}\right\} , \left\{ v_{2}\right\} ,\left\{ v_{3}\right\} ,\left\{ v_{1},v_{2}\right\} ,\left\{ v_{1},v_{3}\right\} ,\left\{ v_{2},v_{3}\right\} und \left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\} \end{eqnarray*}$

Davon sind alle linear unabhängig außer $\begin{eqnarray*} \left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\} \end{eqnarray*}$ . Und von den linear unabhängigen Teilmengen von S sind $\begin{eqnarray*} \left\{ v_{1},v_{2}\right\} ,\left\{ v_{1},v_{3}\right\} ,\left\{ v_{2},v_{3}\right\} \end{eqnarray*}$ maximal.
Wäre das so richtig?

zu c) Dimension von U wäre ja 2 weil bei der Prüfung der linearen Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\} \end{eqnarray*}$ zwei Nicht-Nullzeilen entstehen. Also spannt der Untervektorraum einen $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2\times 1} \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4\times 1} \end{eqnarray*}$ auf oder?
und wie gebe ich nun die entsprechenden Basen an? Sind die Basen von U dann $\begin{eqnarray*} \left\{ v_{1},v_{2}\right\} ,\left\{ v_{1},v_{3}\right\} ,\left\{ v_{2},v_{3}\right\} \end{eqnarray*}$ ? Nur irritiert mich hier das wir Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4\times 1} \end{eqnarray*}$ haben die alle anderen Elemente des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2\times 1} \end{eqnarray*}$ erzeugen können? Ist das so richtig?

zu b)
Wenn die Dimension von U 2 ist sind die Teilmengen $\begin{eqnarray*} \left\{ v_{1},v_{2}\right\} ,\left\{ v_{1},v_{3}\right\} ,\left\{ v_{2},v_{3}\right\} und \left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\} \end{eqnarray*}$ Erzeugendensysteme von U. und davon wären $\begin{eqnarray*} \left\{ v_{1},v_{2}\right\} ,\left\{ v_{1},v_{3}\right\} ,\left\{ v_{2},v_{3}\right\} \end{eqnarray*}$ minimal.

zu d) vorausgesetzt c ist richtig so würde ich nun einfach beispielsweise aus $\begin{eqnarray*} \left\{ v_{1},v_{3}\right\} \end{eqnarray*}$ und zwei Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} (1,0,0,0)^{T} und (0,1,0,0)^{T} \end{eqnarray*}$ eine Basis für den Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4\times 1} \end{eqnarray*}$ erzeugen. Und dann eben für alle Einheitsvektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4\times 1} \end{eqnarray*}$ die Koeffizienten der Linearkombination aus den 4 Vektoren bestimmen. Ist das so in der Aufgabenstellung gefordet oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden?

03.06.2016, 22:49

10001000Nick1

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Hast du die Vektoren richtig hingeschrieben? Die gesamte Menge $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist nämlich linear unabhängig; und damit wären zumindest die ersten drei Teilaufgaben nicht sonderlich spannend. Augenzwinkern

03.06.2016, 22:52

Dandelion

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ach entschuldigung Hammer

$\begin{eqnarray*} v_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

habe mich da vertippt

03.06.2016, 23:18

10001000Nick1

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OK, dann zu a):

Zitat:

Original von Dandelion
Muss ich hier jetzt wirklich jede Teilmenge von S auf lineare Unabhängigkeit prüfen? Oder gibt es da einen einfacheren Weg?

So besonders kompliziert ist das nicht: Augenzwinkern

Die leere Menge ist auf jeden Fall linear unabhängig.
Jede einelementige Menge ist linear unabhängig, außer das Element ist der Nullvektor.
Eine zweielementige Menge ist genau dann linear abhängig, wenn ein Vektor ein (skalares) Vielfaches des anderen Vektors ist. Das ist hier offensichtlich nicht der Fall.
D.h. die einzige Menge, bei der man wirklich rechnen muss, ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Dandelion
Also spannt der Untervektorraum einen $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2\times 1} \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4\times 1} \end{eqnarray*}$ auf oder?

Das solltest du anders formulieren: $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ spannt einen zweidimensionalen Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4\times 1} \end{eqnarray*}$ auf. (Übrigens: Schreibt ihr da wirklich $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4\times 1} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ ? Etwas ungewöhnlich...)

Die gesuchten Basen sind einfach alle linear unabhängigen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Und die hast du richtig angegeben. Nur weiß ich nicht, was du damit meinst: verwirrt

Zitat:

Original von Dandelion
Nur irritiert mich hier das wir Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4\times 1} \end{eqnarray*}$ haben die alle anderen Elemente des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2\times 1} \end{eqnarray*}$ erzeugen können?

Deine Lösung zu b) ist richtig.

d) sieht auch gut aus. Bei deinem Beispiel musst du jetzt überprüfen, ob die Menge $\begin{eqnarray*} \{v_1,v_3,e_1,e_2\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist. Wenn ja, hast du eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4\times 1} \end{eqnarray*}$ und kannst die Linearkombinationen bilden.

03.06.2016, 23:41

Dandelion

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Zitat:

Original von Dandelion
Nur irritiert mich hier das wir Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4\times 1} \end{eqnarray*}$ haben die alle anderen Elemente des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2\times 1} \end{eqnarray*}$ erzeugen können?

naja eine Basis von U wäre ja:
$\begin{eqnarray*} B=\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\\4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

aber wir erzeugen damit ja jetzt alle Elemente des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

muss ich dann die Basis wohl eher so schreiben
$\begin{eqnarray*} B=\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ ?

aber das wären ja dann wiederum keine Elemente von S.

03.06.2016, 23:51

10001000Nick1

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Nein, du erzeugst keine Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Alle erzeugten Vektoren liegen, genau wie die Vektoren aus $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ sind erstmal völlig unterschiedliche Vektorräume. Die Aufgabe hier hat nichts mit dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ zu tun.
Du weißt nur, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ einen zweidimensionalen Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ erzeugt; das ist aber eben nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

Ein Beispiel für einen zweidimensionalen Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} \left\{\left. \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\\v_4 \end{pmatrix}\in\mathbb R^4\ \right|\ v_3=v_4=0 \right\} \end{eqnarray*}$ .
Die Vektoren dieses Unterraums haben vier Komponenten; es sind ja immer noch Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ .

03.06.2016, 23:57

Dandelion

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Dankeschön für deine Hilfe. Jetzt habe ich es endlich richtig verstanden smile

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