Induktionsbeweis: Ansatz für Rechnung am Ende benötigt

04.06.2016, 19:25

Laurentius_Krab

Induktionsbeweis: Ansatz für Rechnung am Ende benötigt

Hallo,

im Prinzip muss ich nur noch von

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1}*\frac{1}{2}*n*(n + 1) + (-1)^{n+2}*(n + 1)^2 \end{eqnarray*}$

nach

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2}*\frac{1}{2}*(n+1)*(n+2) \end{eqnarray*}$

rechnen.

Allerdings finde ich keinen logischen Ansatz bisher, wie ich weiterrechnen könnte.

hier ist noch einmal die Aufgabe für alle Fälle:
[attach]41905[/attach]
das ist meine bisherige Rechnung:
[attach]41906[/attach]
(ich weiß, es ist nicht wirklich nach allen Regeln der Kunst)

Vielen Dank schon mal im Voraus, Rich

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04.06.2016, 19:43

Helferlein

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RE: Induktionsbeweis: Ansatz für Rechnung am Ende benötigt
Als nächstes würde sich das Ausklammern von $\begin{align*} (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \cdot (n + 1) \end{align*}$ anbieten.

05.06.2016, 09:02

Laurentius_Krab

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RE: Induktionsbeweis: Ansatz für Rechnung am Ende benötigt

Zitat:

Original von Helferlein
Als nächstes würde sich das Ausklammern von $\begin{align*} (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \cdot (n + 1) \end{align*}$ anbieten.

Vielen Dank für die Änderung und den Hinweis mit den Bildern in meinem Post.

Das Ausklammern habe ich mir auch überlegt, aber wie kann ich $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$ ausklammern?

Ich finde nichts, was rückmultipliziert wieder $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$ ergibt

05.06.2016, 10:38

Helferlein

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Scheint zu einfach zu sein Augenzwinkern

Wie wäre es denn bei $\begin{eqnarray*} 2^{n+2} \end{eqnarray*}$ ?

05.06.2016, 12:59

Laurentius_Krab

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Zitat:

Original von Helferlein
Scheint zu einfach zu sein Augenzwinkern

Wie wäre es denn bei $\begin{eqnarray*} 2^{n+2} \end{eqnarray*}$ ?

hmm, dann müsste da sowas wie $\begin{eqnarray*} (-2) \end{eqnarray*}$ hin, oder?

Mein Problem ist es die Exponenten logisch miteinander zu kombinieren.

Bei $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$ haben wir ja schon sogar die gleiche Basis. Demnach könnten wir eigentlich einfach die Exponenten von einander abziehen, aber dann hätten wir nur noch $\begin{eqnarray*} 1^1 \end{eqnarray*}$ da stehen.

Jetzt habe ich hier die folgende Idee:

$\begin{eqnarray*} = (-1)^{n+1}*\frac{1}{2}*(n+1)*(1+2*(-1)*(n+1)) \end{eqnarray*}$

05.06.2016, 16:38

Helferlein

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Mach aus der ersten eins in der Klammer ein n, dann stimmt es.

05.06.2016, 21:07

Laurentius_Krab

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Du meinst die 1 in der rechts äußeren Klammer? Stimmt, das n Klammern wir ja gar nicht mit aus beim linken Summand.

Könnte es dann nicht auch so aussehen?

$\begin{eqnarray*} = (-1)^{n+1}*\frac{1}{2}*(n+1)*(-n+2*1*(n+1)) \end{eqnarray*}$

Dann geht alles auf, wenn man die rechte Klammer ausrechnet und wir haben unseren Beweis!

05.06.2016, 21:29

Helferlein

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RE: Induktionsbeweis: Ansatz für Rechnung am Ende benötigt
Nein, dann wären die Vorzeichen in der Klammer falsch.

Wir hatten $\begin{align*} (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \color{red}{n} \color{black} (n + 1) + (-1)^{n+2} \cdot (n + 1)^2 =(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} (n + 1) \left(\color{red}{n} \color{black}+(-1) \cdot 2 \cdot (n+1)\right) \end{align*}$

05.06.2016, 22:41

Laurentius_Krab

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RE: Induktionsbeweis: Ansatz für Rechnung am Ende benötigt
stimmt, die -1 hat ja keine Auswirkung auf das n...

dann haben wir aber das Problem, dass wir

$\begin{eqnarray*} = (-1)^{n+1}*\frac{1}{2}*(n+1)*(-n-2) \end{eqnarray*}$

haben, aber eigentlich nach

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2}*\frac{1}{2}*(n+1)*(n+2) \end{eqnarray*}$

wollten.

Aber jetzt sehe ich gerade: es sollte ja $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$ vorne sein. Und wenn wir jetzt rechts eine (-1) ausklammern, kommt sie als Faktor vorne mit dazu und wir haben unser $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$ und die Gleichung ist perfekt, right? Prost

05.06.2016, 22:50

Helferlein

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Genau so ist es Freude

06.06.2016, 00:46

Laurentius_Krab

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Wow! Danke dir! Top Durchleitung Freude

und maximal gelernt!

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