Summenformel mit Induktion beweisen

04.06.2016, 19:39

Laurentius_Krab

Summenformel mit Induktion beweisen

Hey!

Folgende Aufgabe:

Stellen Sie eine Vermutung für eine Formel zur Berechnung von
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n 3^{k-1} \end{eqnarray*}$
auf und beweisen Sie deren Richtigkeit durch vollständige Induktion.

Ich habe zunächst versucht ein Paar Zahlen von 1 bis 3 einzusetzen.

Die Ergebnisse sind

3 für n = 1
12 für n = 2
und
39 für n = 3

Allerdings fällt mir nicht weiter ein, was ich machen könnte, um auf eine geeignete Formel zu kommen.

Ich vermute sowas, wie
$\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$
muss auf jeden Fall drin sein, weil sonst erreichen wir kaum exponentiell wachsende Ergebnisse.

Danke schon mal im Voraus, Krab

Latex korrigiert. Guppi12

04.06.2016, 19:46

Guppi12

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Hallo,

deine Testergebnisse sind alle falsch. Rechne die noch einmal nach und beachte, dass $\begin{eqnarray*} 3^0 = 1 \end{eqnarray*}$ . Rechne außerdem nochmal 2 Werte mehr aus.

Wenn du das hast, ist das mit $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ garkeine so schlechte Idee, rechne doch mal aus, was da herauskommen würde und schreibe die Werte unter diejenigen, die wirklich herauskommen. Fällt dir was auf?

05.06.2016, 09:42

Laurentius_Krab

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upps, stimmt!

n = 1 -> 1
$\begin{eqnarray*} 3^1 = 3 \end{eqnarray*}$
Differenz: 2

n = 2 -> 4
$\begin{eqnarray*} 3^2 = 9 \end{eqnarray*}$
Differenz: 5

n = 3 -> 14
$\begin{eqnarray*} 3^3 = 27 \end{eqnarray*}$
Differenz: 13

n = 4 -> 46
$\begin{eqnarray*} 3^4 = 46 \end{eqnarray*}$
Differenz: 35

n = 5 -> 146
$\begin{eqnarray*} 3^5 = 243 \end{eqnarray*}$
Differenz: 103

n = 6 -> 454
$\begin{eqnarray*} 3^1 = 3 \end{eqnarray*}$
Differenz: 275

Im Prinzip ist es nur noch eine Sache, wie man auf die Differenz kommt und diese dann von unserem $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ abzieht, oder?

Allerdings habe ich etwas geknobelt und bin bisher zu keinem Ergebnis gekommen.

Ich habe mir auch überlegt, ob man nicht gleich mit $\begin{eqnarray*} 3^{n-1} \end{eqnarray*}$ rechnen könnte, alledings ist es dadurch nicht einfacher geworden.

05.06.2016, 09:52

Guppi12

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Also wenn du dir beim Rechnen nicht mehr Mühe gibst, wirst du nicht auf die Formel kommen können..

Ab $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ sind wieder alle Werte für die Summe falsch und der Wert für $\begin{eqnarray*} 3^4 \end{eqnarray*}$ ist auch falsch (obwohl ich glaube, dass du dich da nur verschrieben hast, die Differenz, die du angegeben hast, passt nämlich eher zu $\begin{eqnarray*} 3^4 = 81 \end{eqnarray*}$ , was richtig ist). So kannst du da natürlich garkeine Regelmäßigkeit erkennen.

05.06.2016, 12:17

Laurentius_Krab

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verdammt

n = 1 -> 1
$\begin{eqnarray*} 3^1 = 3 \end{eqnarray*}$
Differenz: 2

n = 2 -> 4
$\begin{eqnarray*} 3^2 = 9 \end{eqnarray*}$
Differenz: 5

n = 3 -> 14
$\begin{eqnarray*} 3^3 = 27 \end{eqnarray*}$
Differenz: 13

n = 4 -> 46
$\begin{eqnarray*} 3^4 = 81 \end{eqnarray*}$
Differenz: 35

n = 5 -> 146
$\begin{eqnarray*} 3^5 = 243 \end{eqnarray*}$
Differenz: 97

n = 6 -> 454
$\begin{eqnarray*} 3^6 = 729 \end{eqnarray*}$
Differenz: 275

Vielleicht habe ich da auch einen Denkfehler ab n = 3?

$\begin{eqnarray*} 3^{3-1} = 9 \end{eqnarray*}$
dazu habe ich dann die Werte von n = 2 und n = 1 addiert

genauso habe ich bei den anderen verfahren, aber ja bei n = 4 hatte ich tatsächlich einen Tippfehler und bei n = 5 die Differenz falsch und bei n = 6 copy-paste Unaufmerksamkeit.

Eine Regelmäßigkeit ist z.B., dass jedes nächsthöhere Element $\begin{eqnarray*} 3^{n-1} \end{eqnarray*}$ beinhaltet, aber das hilft uns nicht wirklich weiter.

Die Differenzen sind für n = 1 und n = 2 höher als die Ergebnisse selbst anders als bei den anderen Fällen, was wahrscheinlich eine Addition/Subtraktion ausschließt, man muss da wahrscheinlich irgendwas mal nehmen.

05.06.2016, 12:26

Guppi12

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Zitat:

Eine Regelmäßigkeit ist z.B., dass jedes nächsthöhere Element $\begin{eqnarray*} 3^{n-1} \end{eqnarray*}$ beinhaltet, aber das hilft uns nicht wirklich weiter.

Wie ich bereits sagte, deine Ergebnisse sind falsch und bis wir nicht geklärt haben, woran das liegt, macht es keinen Sinn, über Regelmäßigkeiten nachzudenken. Die sind nicht da, weil es keine gibt mit falschen Ergebnissen.

Mal ein Beispiel für $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ : Es gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n3^{k-1} = \sum_{k=1}^4 3^{k-1} = 3^0+3^1+3^2+3^3 = 1+3+9+27 = 40 \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht hilft dir das dabei, deinen grundsätzlichen Fehler herauszufinden.
Ich weiß auch nicht, was ich da sonst machen soll, es ist eben Voraussetzung für diese Aufgabe, dass du richtig rechnen kannst.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 3^{3-1} = 9 \end{eqnarray*}$ dazu habe ich dann die Werte von n = 2 und n = 1 addiert

Meinst du das so, dass du 9+4+1 gerechnet hast? Das ist natürlich falsch, denn das entspricht ja 1+(1+3)+9, da hast du die 1 doppelt drin.

05.06.2016, 17:50

Laurentius_Krab

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Oh mein Gott, Guppi!

So wahr!

Die Nutzung der Summenformel muss geübt sein! Danke für die Leitung durch die Aufgabe!

So komme ich jetzt zumindest auf das richtige Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} 3^n-(\frac{3^n+1}{2}) \end{eqnarray*}$

so wäre das auch möglich, was meiner Meinung nach simpler und vielleicht besser:

$\begin{eqnarray*} (\frac{3^n+1}{2})-1 \end{eqnarray*}$

Jetzt versuche ich das mal mittels vollständiger Induktion zu beweisen.

05.06.2016, 20:19

Guppi12

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Ja, das sieht gut aus. Man könnte es auch noch als $\begin{eqnarray*} \frac{3^n-1}{2} \end{eqnarray*}$ schreiben.

05.06.2016, 21:50

Laurentius_Krab

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OK, $\begin{eqnarray*} \frac{3^n-1}{2} \end{eqnarray*}$ sieht schon mal sehr nice aus

Induktionsanfang mit A(1) klappt natürlich.

Induktionsschritt ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} 3^{k-1} = \frac{3^{n+1}-1}{2} \end{eqnarray*}$

Wir wollen also nach $\begin{eqnarray*} \frac{3^{n+1}-1}{2} \end{eqnarray*}$ rechnen

Den Beweis haben wir also mal so standardmäßig angefangen:

$\begin{eqnarray*} 3^n + \frac{3^n-1}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir schon einiges versucht: $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ ausklammern (macht wenig Sinn, weil wir dann wohl nie auf $\begin{eqnarray*} 3^{n+1} \end{eqnarray*}$ kommen; Auf gemeinsamen Nenner bringen, aber dann geht die Rechnung auch nicht wirklich weiter mit dem Faktor vor dem $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ ;

Der Ansatz $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ auszuklammern, sah erstmal ganz nice aus, aber führte dann auch ins Nirgendwo...

05.06.2016, 21:52

Guppi12

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Zitat:

Auf gemeinsamen Nenner bringen, aber dann geht die Rechnung auch nicht wirklich weiter mit dem Faktor vor dem $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$

Wieso nicht? Was ist denn $\begin{eqnarray*} 2\cdot 3^n+3^n \end{eqnarray*}$ ? Das kann man vereinfachen.

06.06.2016, 01:06

Laurentius_Krab

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hmm, könnte da dann sowas sein, wie

$\begin{eqnarray*} \frac{2*3^n+3^n-1}{2} \end{eqnarray*}$

fasse gleiche Exponenten zusammen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2+1)*3^n-1}{2} \end{eqnarray*}$

Wende Potenzregel für gleiche Basis an:

$\begin{eqnarray*} \frac{(3)*3^n-1}{2} = \frac{3^{n+1}-1}{2} \end{eqnarray*}$

oder träume ich schon? Tanzen

06.06.2016, 08:47

klarsoweit

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Es kommt zumindest ein korrektes Ergebnis heraus. Wenn du nun noch die ganzen Bruchstücke zu einem formal ordentlichen Beweis zusammenstöpselst, könnte man das als Beweis akzeptieren. smile

Hinweis: das Stichwort zu dem Thema lautet "geometrische Reihe". Augenzwinkern

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