Lösungsmenge einer Ungleichung in der Intervallschreibweise angeben

04.06.2016, 20:21

Laurentius_Krab

Lösungsmenge einer Ungleichung in der Intervallschreibweise angeben

Moin!

Folgende Aufgabe:

Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung in der Intervallschreibweise an:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{2x - 3}{4x - 5}\right| < 1\, mit\, x \ne \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

Meine Überlegung war jetzt, dass wir vier Fälle haben:

$\begin{eqnarray*} 1.\, x < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.\, x < 1 \wedge x \ge 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3.\, x = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4.\,x \ge 1 \end{eqnarray*}$

Allerdings hänge ich bereits, wenn ich eine Ungleichung nach x auflösen will bei dem ersten Fall:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x+3}{-4x+5}<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x+3}{-4x+5}-1<0 \end{eqnarray*}$

Das x ausklammern geht ja jetzt nicht und wenn ich jetzt anfange mit dem Nenner zu multiplizieren, dann haben wir x^2 und x...

Stimmt mein Ansatz allgemein und wie rechne ich hier weiter?

04.06.2016, 21:13

Bürgi

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RE: Lösungsmenge einer Ungleichung in der Intervallschreibweise angeben
Guten Abend,

ich beziehe mich jetzt nur auf Deine letzte Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x+3}{-4x+5}-1<0~\implies~\frac{-2x+3}{-4x+5}-\frac{-4x+5}{-4x+5}<0 \end{eqnarray*}$

Brüche zusammenfassen und sich dann überlegen, wann ein Bruch kleiner null - also negativ - ist.

05.06.2016, 11:31

Laurentius_Krab

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RE: Lösungsmenge einer Ungleichung in der Intervallschreibweise angeben

Zitat:

Original von Bürgi
Guten Abend,

ich beziehe mich jetzt nur auf Deine letzte Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x+3}{-4x+5}-1<0~\implies~\frac{-2x+3}{-4x+5}-\frac{-4x+5}{-4x+5}<0 \end{eqnarray*}$

Brüche zusammenfassen und sich dann überlegen, wann ein Bruch kleiner null - also negativ - ist.

Hey

hmm, den Bruch zusammenfassen, würde bei mir so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x+3 - 4x + 5}{4x-5} < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-2x+8}{4x-5} < 0 \end{eqnarray*}$

jetzt könnte ich sowas wie 4, 1 und so weiter für x einsetzen und schauen, ob da was wahres für die Ungleichung rauskommt, aber im Endeffekt habe ich ja wieder kein Spektrum, weil ich nicht nach aufgelöst habe, oder verstehe ich da was falsch?

Ich möchte ja ein genaues Spektrum haben, damit ich später die Intervallschreibweise bestimmen kann

05.06.2016, 12:38

Mathema

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Alternativvorschlag:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{2x - 3}{4x - 5}\right| < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{|2x - 3|}{|4x - 5|} < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |2x-3|<|4x-5| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2x-3)^2<(4x-5)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2x-3)^2-(4x-5)^2<0 \end{eqnarray*}$

Jetzt über die dritte binomische Formel faktorisieren und überlegen wann ein Produkt negativ ist.

Wink

05.06.2016, 13:39

Bürgi

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RE: Lösungsmenge einer Ungleichung in der Intervallschreibweise angeben
Hallo,

statt einzusetzen und zu probieren, könnte man auch einen völlig formalen Weg wählen.

Wenn
+ positiv - also größer null - heißt und
- negativ - also kleiner null - heißt,
könnte man den Quotienten schreiben als:

$\begin{eqnarray*} \frac{-}{+}<0~\vee~\frac{+}{-}<0 \end{eqnarray*}$

Übertragen auf Deine Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} -2x+8<0\ \wedge \ 4x-5 >0~\vee -2x+8>0\ \wedge \ 4x-5 <0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>4\ \wedge x>\frac54~\vee~ x<4\ \wedge \ x<\frac54 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>4 ~ \vee~ x<\frac54 \end{eqnarray*}$

Ausgehend von der Ursprungsgleichung gibt es noch einen zweiten Fall zu untersuchen.

05.06.2016, 23:08

Laurentius_Krab

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RE: Lösungsmenge einer Ungleichung in der Intervallschreibweise angeben
hey Leute, danke für eure Mühe, aber ich habe das Gefühl, ich bin jetzt komplett raus, sorry

@mathema
wie kannst du |4x - 5| einfach mal auf die rechte Seite hauen?

@bürgi
müssen wir wirklich nochmal die Fälle für $\begin{eqnarray*} \frac{-}{+}<0~\vee~\frac{+}{-}<0 \end{eqnarray*}$ abgleichen, obwohl wir von vornerein sagen: das ist jetzt unser Fall für x < 0 und die Betragsstriche sind ja damit schon ganz oben weg und unsere Vorzeichen vertauscht.

Ich hätte jetzt gedacht, dass wir nicht noch zusätzliche Vorzeichen Fälle für diesen Fall abdecken müssen

06.06.2016, 09:14

Bürgi

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RE: Lösungsmenge einer Ungleichung in der Intervallschreibweise angeben
Guten Morgen,

fangen wir mal von vorn an. Aus
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{2x - 3}{4x - 5}\right| < 1\, mit\, x \ne \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} {\begin{array}{lc}-1< \frac{2x - 3}{4x - 5} < 1~&\implies~ -1<\frac{2x - 3}{4x - 5}~{\color{red}\wedge}~\frac{2x - 3}{4x - 5}<1 \\<br /> &\implies~ \frac{6x-8}{4x-5}>0~{\color{red}\wedge}~\frac{-2x+2}{4x-5}<0 \\<br /> &\implies~ 6x-8>0 \wedge 4x-5 >0 ~\vee~ 6x-8<0 \wedge 4x-5 < 0 ~~ {\color{red}\wedge}~~ -2x+2<0\wedge4x-5>0 ~\vee~ -2x+2>0 \wedge 4x-5<0<br /> \end{array}} \end{eqnarray*}$

Die letzte Zeile benutzt die Vorzeichenregel bei Brüchen.

... und jetzt kommst Du.

Noch eine Bemerkung: Wie Du zu Deinen 4 Fällen in Deinem ersten Beitrag gekommen bist, hast Du nicht begründet bzw. hergeleitet.
Wenn Du die letzte Zeile vollständig vereinfacht hast, bekommst Du - wie in der Aufgabenstellung gefordert - die Lösungsmenge in Intervallschreibweise.

06.06.2016, 12:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Laurentius_Krab
@mathema
wie kannst du |4x - 5| einfach mal auf die rechte Seite hauen?

Da ich denselben Weg wie mathema beschritten hätte (weil er der bei weitem kürzeste ist) antworte ich mal vertretungsweise:

Der Schritt, den du ansprichst, ist kein einfaches "auf die rechte Seiten hauen", sondern entspricht einer Multiplikation der Ungleichung mit $\begin{align*} |4x-5| \end{align*}$ . Dieser Wert ist ungleich Null (bei =0 wären wir an der Definitionslücke $\begin{align*} x=\frac{5}{4} \end{align*}$ ), für einen Betrag bedeutet das automatisch $\begin{align*} >0 \end{align*}$ . Und eine solche Multiplikation ändert das Relationszeichen nicht - also alles in Ordnung!

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