Eigenvektor

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05.06.2016, 11:05	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor Meine Frage: Ich habe die Eigenwerte einer Matrix bestimmt und bin nun an den Eigenvektoren dran. Folgende Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 1 & -1 & 1 \\ -\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Eigenwerte sind 1 und -2 mit alg.Vielfachheiten 2 bzw. 1. Für Eigenwert 1 bekomme ich die Eigenvektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , die eine Basis des Eigenraums bilden. Für Eigenwert 2 habe ich nun folgendes LGS gelöst: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 1 & -3 & 1 \\ -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{3}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hier bekomme ich die Lösung $\begin{eqnarray} x_{1}=0,x_{2}=0,x_{3}=0 \end{eqnarray}$ Das stimmt alles bis hierhin. Doch wie bilde ich aus dieser Lösung nun den Eigenvektor? Das kann ja schlecht ein Nullvektor sein?!
05.06.2016, 11:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"Das stimmt" nicht "alles bis hierhin." Du musst den Eigenwert auf der Diagonale subtrahieren, nicht addieren.
05.06.2016, 11:48	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor Also erst mal vielen Dank. Ich hätte dann noch eine andere Frage: Ich habe nun also zu der angegebenen Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren. Wenn ich diese nun noch normiere, habe ich ja ein orthonormales System von Eigenvektoren. Das sind folgende: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie finde ich denn eine orthogonale Matrix S, so dass $\begin{eqnarray} S^{-1}AS \end{eqnarray}$ Diagonalform hat (mit den Eigenwerten auf der Diagonalen) Das müsste ja eine Transformationsmatrix sein, deren Inverse = der Transponierten ist. Und die müsste ja die Eigenvektoren irgendwie enthalten, damit man auf die Diagonalform kommt.
05.06.2016, 14:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist kein Orthonormalsystem. Normiert sind die Eigenvektoren, aber sie sind nicht paarweise orthogonal, denn das Skalarprodukt von je 2 Eigenvektoren ist sicher nicht Null.
05.06.2016, 14:57	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor Wie bekomme die Eigenvektoren dann noch orthogonal zueinander? Über Gram-Schmidt?
05.06.2016, 15:07	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor Ich meine ich muss ja aufpassen, dass ich nach der Orthogonalisierung immer noch Eigenvektoren habe
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05.06.2016, 17:08	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor Mit Gram-Schmidt bin ich auf folgende Vektoren gekommen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{30}}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich diese drei Vektoren zur Matrix S zusammenfüge, die orthogonal ist, ist $\begin{eqnarray} S^{-1}AS=D \end{eqnarray}$ erfüllt. Das Gram-Schmidt-Verfahren brauche ich aber doch nur anwenden, wenn die algebr. Vielfachheit eines Eigenwertes größer als 1 ist, oder?
05.06.2016, 17:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann in jedem Eigenraum eine Orthogonalisierung durchführen, aber im allgemeinen bekommt man kein Orthogonalsystem aus Eigenvektoren zustande. Ist z.B. im R² f(1,0)=(1,0),f(1,1)=(2,2), dann hat man mit dem Standardskalarprodukt keine Chance.
05.06.2016, 18:10	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor Ist folgendes eigentlich hier richtig? $\begin{eqnarray} S^{-1}AS=D<br /> \Longrightarrow<br /> A=SDS^{-1}<br /> A^{-1}=S^{-1}D^{-1}S<br /> =S^ \top D^{-1}S \end{eqnarray}$ Also um die Inverse von A auszurechnen? Und wie würde ich z.B. $\begin{eqnarray} A^{100} \end{eqnarray}$ mit Hilfe der vorherigen Teile ausrechnen?
05.06.2016, 18:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A^{100}=(SDS^{-1})^{100}=SD^{100}S^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ muss aber nicht invertierbar sein .
05.06.2016, 20:40	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor Mal eine dumme Frage: Kann es sein, die drei Vektoren, die ich weiter oben angegeben habe zwar orthonormal sind, aber eben keine Eigenvektoren mehr, nachdem ich den zweiten über Gram-Schmidt umgewandelt habe?
05.06.2016, 21:12	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor Kann mir da jemand meinen Fehler erkären bzw. sagen, wie ich von den Eigenvektoren, die noch nicht orthogonal und normiert sind auf ein orthonormales System von Eigenvektoren komme.
05.06.2016, 21:33	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso meinst Du, dass das keine Eigenvektoren sind? Multipliziere sie (ohne Vorfaktor) mit der Matrix und schau, was rauskommt. Der Vorfaktor spielt dann keine Rolle, da ja jedes Vielfache eines Eigenvektors wieder ein Eigenvektor ist.
05.06.2016, 21:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke, es ist schon viel früher schief gegangen: (1,2,1) ist kein EV der Matrix
05.06.2016, 21:42	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor Wenn ich das so überpüfe, stimmt es doch. Aber wenn ich die Inverse von A über $\begin{eqnarray} S^{-1}D^{-1}S \end{eqnarray}$ ausrechnen will, kommt nicht das Richtige heraus. Als S habe ich einfach die drei Eigenvektoren(mit Vorfaktor) zusammengefügt.
05.06.2016, 21:44	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor @URL Das war ein Schreibfehler, der zweite Eintrag ist eine -2
05.06.2016, 22:28	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor Wenn $\begin{eqnarray} A=SDS^{-1} \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} A^{-1}=SD^{-1}S^{-1} \end{eqnarray}$
06.06.2016, 15:20	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor Wie kommst du von $\begin{eqnarray} A=SDS^{-1} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} A^{-1}=SD^{-1}S^{-1} \end{eqnarray}$ ? Das war mein Fehler, denn ich habe $\begin{eqnarray} A^{-1}=S^{-1}D^{-1}S \end{eqnarray}$ und dann war die Inverse falsch. Ich muss doch auf der rechten Seite alles invertieren oder nicht?
06.06.2016, 21:59	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Du musst also noch die Reihenfolge vertauschen. Wenn dir das nicht klar ist, betrachte $\begin{eqnarray} C=AB \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} A^{-1}C=B \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} B^{-1}A^{-1}C=I \end{eqnarray}$ .

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