Abbildung auf Linearität prüfen

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05.06.2016, 13:10	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung auf Linearität prüfen Hallo liebe Community bei folgender Aufgabe bin ich mir unsicher. Erst einmal zum Prüfen der Linearität: (1) $\begin{eqnarray} L_1(A+B) = (A+B)^T = A^T + B^T = L_1(A) + L_1(B) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_1(xA) = (xA)^T = xA^T = xL_1(A) \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} L_1 \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung (2) Ich glaube diese Abbildung ist nicht linear, da der Nullvektor nicht auf die "Nullmatrix" abbildet. (3) hier müsste doch gezeigt werden, ob $\begin{eqnarray} f(\begin{pmatrix} a_1 + a_2 \\ b_1 + b_2\end{pmatrix}) = f(\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1\end{pmatrix}) + f(\begin{pmatrix} a_2 \\ b_2\end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ oder? Angewendet: $\begin{eqnarray} f(\begin{pmatrix} a_1 + a_2 \\ b_1 + b_2\end{pmatrix}) = ((a_1+a_2)(b_1+b_2))x+(a_1+a_2)-(b_1+b_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+a_2b_2)x+(a_1+a_2)-(b_1+b_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =a_1b_1x+a_1b_2x+a_2b_1x+a_2b_2x+(a_1+a_2)-(b_1+b_2) \neq f(\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1\end{pmatrix}) + f(\begin{pmatrix} a_2 \\ b_2\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ Wäre das so richtig? Danke schonmal
05.06.2016, 13:24	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles richtig.
05.06.2016, 14:04	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut danke Aber wie bestimme ich den Kern. Das muss doch einfach ein Nullvektor sein oder? Und wie bestimme ich das Bild? Ist das die transponierte Matrix?
05.06.2016, 14:23	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kern von $\begin{eqnarray} L_1 \end{eqnarray}$ sind alle Elemente von $\begin{eqnarray} K^{m,n} \end{eqnarray}$ , die auf den "Nullvektor" in $\begin{eqnarray} K^{n,m} \end{eqnarray}$ abgebildet werden. Was ist denn dieser Nullvektor? Und das Bild ist definiert als $\begin{eqnarray} \{A^T\in K^{n,m}\mid A\in K^{m,n}\} \end{eqnarray}$ . Also alle Matrizen in $\begin{eqnarray} K^{n,m} \end{eqnarray}$ , die die Transponierte irgendeiner Matrix aus $\begin{eqnarray} K^{m,n} \end{eqnarray}$ sind. Welche sind das?
05.06.2016, 14:32	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Der "Nullvektor" ist die "Nullmatrix"? Und das Bild alle quadratischen Matrizen?
05.06.2016, 14:35	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Nullvektor in $\begin{eqnarray} K^{m,n} \end{eqnarray}$ ist die Nullmatrix. Die Abbildung bildet nach $\begin{eqnarray} K^{n,m} \end{eqnarray}$ ab, also in die Menge der $\begin{eqnarray} (n\times m) \end{eqnarray}$ -Matrizen. Diese sind nicht quadratisch (außer im Spezialfall $\begin{eqnarray} m=n \end{eqnarray}$ ). Wie soll das Bild da quadratische Matrizen enthalten?
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05.06.2016, 14:43	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh Stimmt keine Ahnung sind das nicht alle Matrizen?
05.06.2016, 14:48	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe mal davon aus, dass du jetzt das Bild meinst. Und dann stimmt das: Das Bild ist $\begin{eqnarray} K^{n,m} \end{eqnarray}$ . Um das zu zeigen, kannst du einfach zu jeder Matrix $\begin{eqnarray} B\in K^{n,m} \end{eqnarray}$ eine Matrix in $\begin{eqnarray} K^{m,n} \end{eqnarray}$ angeben, die auf $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ abgebildet wird. Welche könnte das sein?
05.06.2016, 14:54	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
die Transponierte von B ?
05.06.2016, 15:28	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau: Wenn $\begin{eqnarray} B\in K^{n,m} \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} B^T\in K^{m,n} \end{eqnarray}$ ; und es gilt $\begin{eqnarray} L_1(B^T)=(B^T)^T=B \end{eqnarray}$ . Bleibt noch die Frage nach dem Kern.
05.06.2016, 15:39	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kern ist die Nullmatrix oder?
05.06.2016, 15:41	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich müsste man sagen: Der Kern enthält als einziges Element die Nullmatrix (der Kern ist ja eine Menge). Aber deine Idee ist natürlich richtig.
05.06.2016, 19:45	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankee

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