Abbildung auf Linearität prüfen

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Oggel Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung auf Linearität prüfen
Hallo liebe Community smile

bei folgender Aufgabe bin ich mir unsicher. Erst einmal zum Prüfen der Linearität:

(1)



also ist eine lineare Abbildung

(2)
Ich glaube diese Abbildung ist nicht linear, da der Nullvektor nicht auf die "Nullmatrix" abbildet.

(3)
hier müsste doch gezeigt werden, ob oder?

Angewendet:




Wäre das so richtig?

Danke schonmal smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig. smile
 
 
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut danke smile

Aber wie bestimme ich den Kern. Das muss doch einfach ein Nullvektor sein oder?
Und wie bestimme ich das Bild? Ist das die transponierte Matrix?

verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kern von sind alle Elemente von , die auf den "Nullvektor" in abgebildet werden. Was ist denn dieser Nullvektor?

Und das Bild ist definiert als . Also alle Matrizen in , die die Transponierte irgendeiner Matrix aus sind. Welche sind das?
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Der "Nullvektor" ist die "Nullmatrix"?
Und das Bild alle quadratischen Matrizen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Nullvektor in ist die Nullmatrix.

Die Abbildung bildet nach ab, also in die Menge der -Matrizen. Diese sind nicht quadratisch (außer im Spezialfall ). Wie soll das Bild da quadratische Matrizen enthalten?
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh Stimmt Big Laugh

keine Ahnung sind das nicht alle Matrizen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe mal davon aus, dass du jetzt das Bild meinst. Augenzwinkern Und dann stimmt das: Das Bild ist .

Um das zu zeigen, kannst du einfach zu jeder Matrix eine Matrix in angeben, die auf abgebildet wird. Welche könnte das sein?
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

die Transponierte von B ? verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau: Wenn , dann ist ; und es gilt .

Bleibt noch die Frage nach dem Kern.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kern ist die Nullmatrix oder?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich müsste man sagen: Der Kern enthält als einziges Element die Nullmatrix (der Kern ist ja eine Menge).
Aber deine Idee ist natürlich richtig.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Dankee smile
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