Abbildung auf Linearität prüfen, Kern, Bild, Dim

05.06.2016, 15:15

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Abbildung auf Linearität prüfen, Kern, Bild, Dim

Hallo,

hab hier nochmal eine ähnlich Aufgabe hier hänge ich auch:

Um zu zeigen, dass die Abbildung linear ist habe ich folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} f(A+B) = (1,1,0) * \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & 0\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}+b_{33} \end{pmatrix} = (a_{11}+b_{11}+a_{21}+b_{21},a_{12}+b_{12}+a_{22}+b_{22},0) \end{eqnarray*}$

und dann das jeweils einzeln nochmal ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} f(A) = (1,1,0) * \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} = (a_{11}+a_{21},a_{12}+a_{22}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(B) = (b_{11}+b_{21},b_{12}+b_{22}) \end{eqnarray*}$

Und damit kommt man zu dem Schluss, dass $\begin{eqnarray*} f(A+B) = f(A) + f(B) \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn ich jetzt den Kern ausrechnen möchte habe ich das folgendermaßen gemacht:
$\begin{eqnarray*} (a_{11}+a_{21},a_{12}+a_{22},0) = 0 \end{eqnarray*}$ gesetzt. Damit bekomme ich raus:
$\begin{eqnarray*} a_{11} = -a_{21} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{12} = -a_{22} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{33} = 0 \end{eqnarray*}$

das in die Matrix eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -a_{21} & -a_{22} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre das mein Kern?

Wollte erst einmal das geklärt haben, bevor ich weiter rechne.

Danke schonmal smile

smile

05.06.2016, 15:29

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist die Aufgabe? smile

smile

05.06.2016, 15:33

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry

Hammer

05.06.2016, 15:47

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal fehlt bei der Linearität noch der Beweis für $\begin{eqnarray*} L(\lambda A)=\lambda\cdot L(A) \end{eqnarray*}$ .

(Übrigens gilt $\begin{eqnarray*} v(A+B)=vA+vB \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in\mathbb R^{1,n}, A,B\in\mathbb R^{n,n} \end{eqnarray*}$ ; das hätte dir etwas Schreibarbeit erspart.)

Der Kern stimmt nicht ganz: Du hast $\begin{eqnarray*} a_{33} \end{eqnarray*}$ vergessen.
Der Kern von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ besteht also aus allen Matrizen der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -a_{21} & -a_{22} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{22}, a_{21}, a_{33}\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

05.06.2016, 19:59

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Erstmal fehlt bei der Linearität noch der Beweis für $\begin{eqnarray*} L(\lambda A)=\lambda\cdot L(A) \end{eqnarray*}$ .

Stimmt natürlich. Vergessen.
$\begin{eqnarray*} f(x*A)=\begin{pmatrix} xa_{11} & xa_{12} & 0 \\ xa_{21} & xa_{22} & 0 \\ 0 & 0 & xa_{33} \end{pmatrix} = x* \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} = x* f(A) \end{eqnarray*}$

Zurück zum Kern:
Hier sehe ich schon, dass 2 Zeilen linear abhängig sind, also würde ich sagen die Dimension des Kerns ist 2?

Jetzt habe ich mal wieder Probleme um das Bild zu bestimmen. Würde irgendwie sagen das Bild ist:
$\begin{eqnarray*} t* (a_{11}+a_{21}) + t*(a_{12}+a_{22}) \end{eqnarray*}$ sozusagen die Spaltenvektoren der einzeiligen Matrix (bisschen komisch ausgedrückt, ich hoffe du weißt was ich meine).

verwirrt

verwirrt

05.06.2016, 21:57

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst hier etwas "umdenken": Deine Vektoren sind hier Matrizen. D.h. Kern und Bild bestehen aus Matrizen. Es bringt dir also nichts, wenn du weißt, wie viele linear unabhängige Spalten die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -a_{21} & -a_{22} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ besitzt.

Wenn du hier so rechnen willst wie mit "normalen" Koordinatenvektoren, kannst du die drei Spaltenvektoren einer Matrix untereinander schreiben und hast dann einen Spaltenvektor mit 9 Einträgen. (Man identifiziert $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3\times 3} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R^9 \end{eqnarray*}$ ). Es wird also jeder Matrix eindeutig genau ein Vektor zugeordnet und umgekehrt. Damit könntest du dann genauso rechnen wie du das gewohnt bist.

Da das Rechnen mit Vektoren mit 9 Einträgen aber etwas unübersichtlich wird, kannst du hier einfach eine Basis des Kerns angeben. Tipp: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -a_{21} & -a_{22} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} =a_{21}\cdot\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+a_{22}\cdot\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+a_{33}\cdot\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Anzeige

06.06.2016, 09:25

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay gut zu wissen.

Aber wenn ich den Kern darstellen möchte reicht es einfach nur die Matrix zu nehmen oder ohne die Koordinatendarstellung?

Ich hab aber immer noch Probleme bei bestimmen des Bildes.

Also meine Abbildung ist ja $\begin{eqnarray*} f(A) = (a_{11}+a_{21},a_{12}+a_{22},0) \end{eqnarray*}$ Wenn ich das als Koordinatendarstellung aufschreibe: $\begin{eqnarray*} a_{11}+a_{21} * (1) + a_{12}+a_{22} * (1) \end{eqnarray*}$ ?

Steh iwie auf dem Schlauch Big Laugh

Big Laugh

06.06.2016, 09:49

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Oggel
Aber wenn ich den Kern darstellen möchte reicht es einfach nur die Matrix zu nehmen oder ohne die Koordinatendarstellung?

Das kommt darauf an, wie du den Kern formal darstellen möchtest. Die simpelste Art ist, wenn du einfach die Basiselemente des Kerns nennst, also die besagten 3 Matrizen.

Zitat:

Original von Oggel
Also meine Abbildung ist ja $\begin{eqnarray*} f(A) = (a_{11}+a_{21},a_{12}+a_{22},0) \end{eqnarray*}$

Da liegst du schon falsch. Da solltest du nochmal genau hinschauen.

Zitat:

Original von Oggel
Wenn ich das als Koordinatendarstellung aufschreibe: $\begin{eqnarray*} a_{11}+a_{21} * (1) + a_{12}+a_{22} * (1) \end{eqnarray*}$ ?

Auch da liegst du falsch. Die Bilder sind Elemente des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{1,3} \end{eqnarray*}$ . Also mußt du das Bild als Linearkombination mit geeigneten Elemente des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{1,3} \end{eqnarray*}$ darstellen.

06.06.2016, 13:11

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry aber ich weiß gerade nicht mehr weiter. unglücklich

unglücklich

06.06.2016, 13:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abbildung auf Linearität prüfen, Kern, Bild, Dim
Du mußt erst mal ganz ordentlich das Produkt $\begin{eqnarray*} (1,1,0) \cdot \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ausrechnen, damit du überhaupt mal einen Plan hast, wie deine Bilder aussehen. smile

smile

06.06.2016, 14:29

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Produkt wäre:
$\begin{eqnarray*} ((a_{11}+a_{21}),(a_{12}+a_{22}),(a_{13}+a_{23})) \end{eqnarray*}$ . Also eine $\begin{eqnarray*} 1 \times 3 \end{eqnarray*}$ Matrix. Kann ich hier schon schon die Definition einsetzen also: $\begin{eqnarray*} a_{31}=a_{32}=a_{13}=a_{23}=0 \end{eqnarray*}$ ? Dann wäre mein Produkt: $\begin{eqnarray*} ((a_{11}+a_{21}),(a_{12}+a_{22}),(0+0)) \end{eqnarray*}$ oder?

06.06.2016, 14:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Oggel
Kann ich hier schon schon die Definition einsetzen also: $\begin{eqnarray*} a_{31}=a_{32}=a_{13}=a_{23}=0 \end{eqnarray*}$ ?

Welche Definition und warum solltest du das tun? verwirrt

verwirrt

Kann es sein, daß du hier irgendwas verwechselst?

06.06.2016, 14:36

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Aufgabe hab ich das entnommen. Oder bin ich auf dem Holzweg? Big Laugh

Big Laugh

06.06.2016, 14:47

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Arghh, wie blöd! Da habe ich ein paar winzige Details übersehen. Sorry! Hammer

Hammer

OK. Dann ist das natürlich richtig:

Zitat:

Original von Oggel
Also meine Abbildung ist ja $\begin{eqnarray*} f(A) = (a_{11}+a_{21},a_{12}+a_{22},0) \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du das noch ordentlich als Linearkombination von Basisvektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{1,3} \end{eqnarray*}$ aufschreiben.

06.06.2016, 19:07

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x_1 * (a_{11}+a_{21},0,0) + x_2 * (0,a_{12}+a_{22},0) \end{eqnarray*}$ ?

07.06.2016, 09:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte eher an so etwas gedacht:

$\begin{eqnarray*} (a_{11}+a_{21},a_{12}+a_{22},0) = (a_{11}+a_{21}) \cdot (1, 0, 0) + (a_{12}+a_{22}) \cdot (0, 1, 0) \end{eqnarray*}$ smile

smile

07.06.2016, 14:28

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh Okay.

Jetzt hab ich noch eine Frage zu den Dimensionen. Ist in diesem Fall die Dimension des Kerns 2 und die Dimension des Bildes 1?

07.06.2016, 14:51

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus welchen Vektoren besteht denn nun die Basis des Kerns bzw. des Bildes?

07.06.2016, 15:51

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Basis des Kerns:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die des Bildes:
$\begin{eqnarray*} (1,0,0),(0,1,0) \end{eqnarray*}$ ?

07.06.2016, 15:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. Also hast du welche Dimensionen?

07.06.2016, 16:52

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Das bringt mich echt durcheinander gerade unglücklich

unglücklich

Dimension Kern = 3 und Bild = 2 ?

07.06.2016, 17:38

balance

Auf diesen Beitrag antworten »

Offtopic: Kann dir das Buch Repetitorium der Linearen Algebra Teil 1/2 empfehlen. (Am besten beim Verlag bestellen, ist relativ unbekannt glaub.)

08.06.2016, 08:29

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Oggel
Dimension Kern = 3 und Bild = 2 ?

Korrekt.

smile

08.06.2016, 09:07

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste ja die Dimension von V 5 sein laut Dimensionsformel oder?

Wie kommt man bei V auf die Dimension 5?

08.06.2016, 09:26

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Um es etwas schnoddrig auszudrücken:
Das V besteht aus 3x3-Matrizen. Von den 9 Matrixelementen sind 4 Stück immer gleich Null, so daß du nur noch 5 Freiheitsgrade und somit die Dimension 5 hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.06.2016, 09:43

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh Danke

smile

Jetzt noch zum letzten Teil:
L ist nicht surjektiv, da Dimension vom Bild ungleich Dimension von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{1,3} \end{eqnarray*}$ .

und nicht injektiv da der Kern von L nicht aus der Nullmatrix besteht.

Oder?

08.06.2016, 10:11

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt.

Freude

08.06.2016, 10:14

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Dankee

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »