Integrieren

05.06.2016, 19:23

OUnii

Integrieren

Meine Frage:
Bestimmen sie folgendes Integral duch Substitution bzw. partielle Integration:
Hinweis: man substituiere $\begin{eqnarray*} cosh(x)=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{e^{x} }{cosh(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe bereits versucht zu substituieren. Bin aber leider nur so weit gekommen:
$\begin{eqnarray*} 2\int_{a}^{b} \! \frac{1}{t}\times \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{-x} } \, dt \end{eqnarray*}$
Leider weiß ich jetzt nicht wie ich weiter machen muss oder ob ich auf den richtigen Weg bin.

Vielen Dank für eure Hilfe.

05.06.2016, 19:31

Mathema

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Was willst du da noch so ein Zirkus mit Substitution und partieller Integration machen?

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{\cosh(x)}=\frac{2e^x}{e^x+e^{-x}}=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}+1} \end{eqnarray*}$

Und da steht die Ableitung vom Nenner im Zähler...

05.06.2016, 20:45

OUnii

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Nja ich dachte mir, dass ichs eben unbedingt mit dieser Substitution: t=cosh(x) rechnen muss.
Aber es stimmt das macht es nur komplizierter.
Also Danke schön smile

06.06.2016, 06:35

Leopold

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Zitat:

Original von OUnii
Nja ich dachte mir, dass ichs eben unbedingt mit dieser Substitution: t=cosh(x) rechnen muss.

Natürlich nicht unbedingt, aber durchaus möglich:

$\begin{align*} \frac{\operatorname{e}^x}{\cosh x} = \frac{\cosh x + \sinh x}{\cosh x} = 1 + \frac{\sinh x}{\cosh x} \end{align*}$

$\begin{align*} \int \frac{\operatorname{e}^x}{\cosh x} ~ \dd x = x + \int \frac{\dd \left( \cosh x \right)}{\cosh x} = x + \ln \left( \cosh x \right) \end{align*}$

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