Basis von Unterraum bestimmen

05.06.2016, 21:52

Dandelion

Basis von Unterraum bestimmen

Meine Frage:
Es seien:
$\begin{eqnarray*} U_{1}:=\left\{ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \in \mathbb R ^{2\times 3}; a+b+c=d+e+f=a+c+e=0 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_{2}:=\left\{ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \in \mathbb R ^{2\times 3}; a-2d=2b-e=c-2f=0 \right\} \end{eqnarray*}$

a) Man zeige das $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_{2} \end{eqnarray*}$ Teilräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2\times 3} \end{eqnarray*}$ sind.
b) Man bestimme eine Basen von $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_{2} \end{eqnarray*}$ .
c) Wie erhält man daraus eine Basis für $\begin{eqnarray*} U_{1} + U_{2} \end{eqnarray*}$ ?
d) Außerdem bestimme man eine Basis für $\begin{eqnarray*} U_{1}\cap U_{2} \end{eqnarray*}$ und ergänze sie jeweils zu einer Basis für $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} U_{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu a) Hier habe ich die Axiome eines Unterraums formal nachgewiesen. Also dass U nicht leer ist und bzgl. Addition und Multiplikation abgeschlossen ist. Gibt es dafür vielleicht auch einen anderen Weg? War dann doch recht viel Schreibaufwand um das nachzuweisen.

zu b)
Um eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen habe ich mir zunächst einige Matrizen ausgedacht die zu $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ gehören. z.B.:

$\begin{eqnarray*} T:=\left\{ \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix} \right\} \subseteq U_{1} \end{eqnarray*}$

Damit habe ich dann die Dimension von $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ bestimmt.Die wäre 3. Und als Basis habe ich mir dann einfach 3 Matrizen aus T ausgesucht. So wäre eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} B_{U1}:=\left\{ \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Ist dieses Vorgehen so richtig oder gehe ich total falsch an die Aufgabe heran?

zu c)und d) müsste ich erst einmal wissen, ob mein Ansatz zu b) richtig ist Big Laugh

06.06.2016, 09:21

klarsoweit

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RE: Basis von Unterraum bestimmen

Zitat:

Original von Dandelion
zu a) Hier habe ich die Axiome eines Unterraums formal nachgewiesen. Also dass U nicht leer ist und bzgl. Addition und Multiplikation abgeschlossen ist. Gibt es dafür vielleicht auch einen anderen Weg? War dann doch recht viel Schreibaufwand um das nachzuweisen.

Nun ja, manchmal ist etwas Schreibaufwand unvermeidlich. Allenfalls könnte man anführen, daß die Unterräume isomorph zum Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems im R^6 sind. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Dandelion
zu b)
Damit habe ich dann die Dimension von $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ bestimmt.Die wäre 3. Und als Basis habe ich mir dann einfach 3 Matrizen aus T ausgesucht. So wäre eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ :

Nun ja, dieses Vorgehen kann auch zu einem falschen Ergebnis führen. Zum einen könntest du beim Aussuchen der 3 Matrizen linear abhängige Elemente erwischen, die es ja in T offensichtlich gibt. Zum anderen müßtest du auch zeigen, daß die Menge T ein Erzeugendensystem von U_1 darstellt. Es wäre ja blöd, wenn es Elemente in U_1 gibt, die sich aus den Elementen von T gar nicht linear kombinieren ließen. smile

06.06.2016, 09:42

Dandelion

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und wie zeige ich das T ein Erzeugendensystem von U ist?
Indem ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} a_{1}*v_{1}+a_{2}*v_{2}+a_{3}*v_{3}+a_{4}*v_{4}+a_{5}*v_{5}+a_{6}*v_{6}= \begin{pmatrix} a & b &c \\ d& e & f \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar ist?

06.06.2016, 09:57

klarsoweit

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Nun ja, es wäre schon ausreichend, wenn das überhaupt lösbar ist. Allerdings würde ich da nicht die Menge T nehmen, sondern $\begin{eqnarray*} B_{U_1} \end{eqnarray*}$ .

06.06.2016, 10:00

Dandelion

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Zitat:

Indem ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} a_{1}*v_{1}+a_{2}*v_{2}+a_{3}*v_{3}+a_{4}*v_{4}+a_{5}*v_{5}+a_{6}*v_{6}= \begin{pmatrix} a & b &c \\ d & e & f \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar ist?

Muss mich gleich mal selbst korrigieren: Eindeutig ist an der Stelle falsch. Ich muss ja nur Werte für die Koeffizienten ermitteln und dann schauen ob die aus der entsprechenden Linearkombination resultierende Matrix die Bedingungen a+b+c=d+e+f=a+c+e=0 erfüllt und somit Element von U ist.

Wäre das so richtig oder bin ich gerade auf dem komplett falschem Weg?

06.06.2016, 10:03

Dandelion

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Zitat:

Allerdings würde ich da nicht die Menge T nehmen, sondern $\begin{eqnarray*} B_{U_1} \end{eqnarray*}$ .

Muss ich aber um die Dimension von U richtig bestimmen zu können, nicht erst einmal zeigen, dass T ein Erzeugendenssystem von U ist. Und um anschließend zu zeigen das $\begin{eqnarray*} B_{U1} \end{eqnarray*}$ eine Basis von U ist muss ich zeigen das diese Matrizen linear unabhängig sind oder?

06.06.2016, 10:10

klarsoweit

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Nein, es reicht zu zeigen, daß $\begin{eqnarray*} B_{U_1} \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem ist.

Alternativ (ich erwähnte es oben schon) könntest du die Gleichungen a+b+c=d+e+f=a+c+e=0 als homogenes Gleichungssystem im R^6 auffassen und dazu die allgemeine Lösung im R^6 bestimmen.

06.06.2016, 10:13

Dandelion

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Also muss ich die Dimension von U gar nicht bestimmen?

06.06.2016, 10:39

klarsoweit

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Nun ja, du sollst in Aufgabe b Basen von U_1 und U_2 bestimmen. Und wenn du die Basen hast, hast du auch die Dimension (quasi als Abfallprodukt), auch wenn nicht explizit danach gefragt wurde. Augenzwinkern

06.06.2016, 10:45

Dandelion

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Okay. Ich dachte nur das ich irgendwie klar machen muss, wie ich drauf komme, dass die Basis von U aus 3 Matrizen bestehen muss. Wollte nur mit T und der Bestimmung der Dimension von U meine Überlegungen verdeutlichen Big Laugh

06.06.2016, 11:57

Dandelion

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So ich habe jetzt meine Basen für $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_{2} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} B_{U1}=\left\{ \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_{U2}=\left\{ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

wie bekomme ich darauf jetzt eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_{1}+U_{2} \end{eqnarray*}$ ?

Ist jetzt mein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} U_{1}+U_{2}=B_{U1}+B_{U2} \end{eqnarray*}$ und ich schaue wieder nach der Dimension und mache dann aus dem Erzeugendensystem eine Basis, indem ich wieder Matrizen der Menge $\begin{eqnarray*} B_{U1}+B_{U2} \end{eqnarray*}$ die als Linearkombination der anderen Elemente dieser Menge geschrieben werden können, entferne bis das Erzeugendensystem minmal ist?

06.06.2016, 12:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dandelion
Ist jetzt mein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} U_{1}+U_{2}=B_{U1}+B_{U2} \end{eqnarray*}$

Formal genauer ist $\begin{eqnarray*} B_{U1} \cup B_{U2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Dandelion
ich schaue wieder nach der Dimension und mache dann aus dem Erzeugendensystem eine Basis, indem ich wieder Matrizen der Menge $\begin{eqnarray*} B_{U1}+B_{U2} \end{eqnarray*}$ die als Linearkombination der anderen Elemente dieser Menge geschrieben werden können, entferne bis das Erzeugendensystem minmal ist?

Im Prinzip ja. Ich würde mit dem Gauß-Verfahren eine Basis aus $\begin{eqnarray*} B_{U1} \cup B_{U2} \end{eqnarray*}$ rausfiltern.

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