Funktionsgleichung aus Nullstellen bestimmen (Newton-Verfahren)

07.06.2016, 12:55	Max1414	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsgleichung aus Nullstellen bestimmen (Newton-Verfahren) Hallo, ich versuche mich gerade an einer Numerikaufgabe, wo es darum geht eine Funktion zu bestimmen, die gewisse Nullstellen besitzt. Anfangs war folgendes gegeben: $\begin{eqnarray} K = \left\{ (x, y) \in R^{2} : x^2 + y^2 = 3\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H = \left\{ (x, y) \in R^{2} : x^2 - y^2 = 2\right\} \end{eqnarray}$ Die Schnittpunkte sind $\begin{eqnarray} x = -\sqrt{\frac{5}{2}} , +\sqrt{\frac{5}{2}} , y = -\sqrt{\frac{1}{2}} , +\sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ . Nun soll man eine Funktion bestimmen, die genau diese Punkte als Nullstellen hat, um danach das Newton-Verfahren mit dieser Funktion zu verwenden. Da stehe ich nur leider total auf dem Schlauch, da zwei Variablen vorkommen. Ich habe bis jetzt lediglich rumprobiert, da ich nicht wirklich weiß, wie man vorgehen soll. Vielen Dank für jegliche Hinweise Edit (mY+): LaTeX berichtigt, die 2 bei K und H sollen doch Hochzahlen sein (?)
07.06.2016, 13:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen sind Punkte auf der x-Achse, d.h. deren y-Werte sind Null. Daher können die angegebenen Punkte keine Nullstellen sein, sondern höchstens deren x-Werte. Ein Polynom z.B. 3. Grades, das unter anderen diese Nullstellen x1, x2 besitzt, kann mittels des Produktes seiner Linearfaktoren erzeugt werden. Du musst lediglich noch eine 3. Nullstelle "hinzukomponieren", die auch nicht so leicht zu erraten* sein sollte ... () Eine einfache Funktion wäre $\begin{eqnarray} f(x) = x^3 +x^2 - \frac 5 2 x - \frac 5 2 \end{eqnarray}$ Bestimme die Nullstellen dennoch mittels Newton, obwohl $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ als Nullstelle bereits leicht zu ersehen ist. Ein weniger einfaches Polynom (mit denselben Nullstellen x1, x2) ist $\begin{eqnarray} g(x) = 6x^3-4x^2-15x+10 \end{eqnarray*}$ Mittels der Linearfaktoren und allenfalls Multiplikation des ganzen Termes mit einem Faktor, damit ganzzahlige Koeffizienten entstehen, können so beliebige Polynome erstellt werden. mY+
07.06.2016, 14:00	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Schnittpunkte liegen im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ , also muss man auch das Nullstellenproblem im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ formulieren. Das Gleichungssystem fuer die Schnittpunkte ist $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 - 3 =0,<br /> x^2 - y^2 - 2=0. \end{eqnarray}$ Das, was jeweils auf der rechten Seite steht, sind die Komponenten einer Funktion, welche die Schnittpunkte als Nullstellen besitzt.

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