Minimiere Maximum von Betrag in 2 Variablen - Interpolation

07.06.2016, 17:50

Patrick1234567

Minimiere Maximum von Betrag in 2 Variablen - Interpolation

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe ein polynom gegeben:
$\begin{eqnarray*} w(x) = abs((x-x_0) \cdot (x-x_1) \cdot ... \cdot (x-x_n)) \end{eqnarray*}$

mit n = 2, x0 = 0 und x2=1. Nun soll eine Zwischenstelle berechnet werden, sodass $\begin{eqnarray*} max_{0 \leq x \leq 1} w(x) \end{eqnarray*}$ minimal wird.

Meine Ideen:
Ich bin nicht ganz sicher wie ich das angehen soll (minimieren einer maximumfunktion vom betrag einer Funktion mit 2 Variablen), ich würde das aber folgendermaßen machen. Nennen wir mal die Zwischenstelle nicht x1 sondern z.

Funktion ist: $\begin{eqnarray*} p(x) = x \cdot (x-1) \cdot (x-z) \end{eqnarray*}$

p abgeleitet nach x: $\begin{eqnarray*} 3x^2 - 2xz - 2 + z \end{eqnarray*}$
p abgeleitet nach z: $\begin{eqnarray*} -x^2 + x \end{eqnarray*}$

wenn ich mir da die Nullstellen ausrechne, komm ich auf (x,z)=(0,2) bzw. (1,-1).

Meine Idee ist jetzt einfach die Funktion p(x) mit w(x) an den beiden Stellen zu vergleichen und zu schauen für welchen der beiden Werte die Aussage stimmt. Das wäre für (0,2). D.h. das fertige Polynom lautet

$\begin{eqnarray*} w(x) = abs(x \cdot (x-1) \cdot x) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so oder bin ich da am Holzweg?

LG,
Patrick

10.06.2016, 00:13

Patrick1234567

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Hat keiner eine Idee, ob mein Ansatz stimmen kann? verwirrt

10.06.2016, 07:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Patrick1234567
Nun soll eine Zwischenstelle berechnet werden, sodass $\begin{eqnarray*} max_{0 \leq x \leq 1} w(x) \end{eqnarray*}$ minimal wird.

Dein $\begin{align*} w(x) = |x^2(x-1)| = x^2(1-x) \end{align*}$ hat sein Maximum bei $\begin{align*} x=\frac{2}{3} \end{align*}$ mit Wert $\begin{align*} w\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{27} \approx 0.148 \end{align*}$ .

Betrachtet man hingegen $\begin{align*} w_2(x) = \left|x\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-1)\right| \end{align*}$ , dann hat man die Extremstellen $\begin{align*} x=\frac{3\pm\sqrt{3}}{6} \end{align*}$ mit den Werten $\begin{align*} w_2(x) = \frac{\sqrt{3}}{36}\approx 0.048 \end{align*}$ .

Upps, das ist ja viel kleiner als dein Wert .... ich will nicht behaupten, dass dies der kleinste Wert ist, aber zumindest zeigt er, dass dein Vorgehen so nicht stimmen kann. Tatsächlich hast du wohl eher den Zwischenwert bestimmt, wo der fragliche Wert maximal wird (allerdings mit fragwürdigen Mitteln).

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