Potenzreihe abschätzen, Ableitung?

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07.06.2016, 20:09	Mr Guest	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe abschätzen, Ableitung? Meine Frage: Hallo zusammen, ich bin auf ein Problem gestoßen, das nicht locker lässt. Und zwar habe ich eine Potenzreihe, für die (für jede ganze Zahl j) gilt: $\begin{eqnarray} \|a_j(m)\|= \|\sum_k c_k m^k\| < m \frac{1}{j^k} \end{eqnarray}$ Kann ich jetzt eine ähnliche Abschätzung finden für die Ableitung $\begin{eqnarray} a_j'(m) \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Würde mich über alle Ideen freuen!
07.06.2016, 20:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau ist jetzt die Potenzreihe? Außerdem ist die Gleichheit $\begin{align} \|a_j(m)\|= \|\sum_k c_k m^k\| \end{align}$ ja so zu verstehen, dass die linke Seite ja gar nicht von $\begin{align} j \end{align}$ abhängt.
07.06.2016, 21:06	Hammala	Auf diesen Beitrag antworten »
die konstanten hängen jetzt von j ab, hat oben gefehlt $\begin{eqnarray} \|a_j(m)\|= \|\sum_k c_{j,k} m^k\| < m \frac{1}{j^k} \end{eqnarray}$ wie die Potenzreihe aussieht weiß ich nicht, ich weiß nur dass die a_j sehr schnell abfallen über die obige Abschätzung
07.06.2016, 23:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, die Potenzreihe ist also $\begin{align} a_j(m)=\sum_k c_{j,k} m^k \end{align}$ und es soll $\begin{align} \|a_j(m)\| < m\frac{1}{j^k}\qquad () \end{align}$ für alle $\begin{align} j \end{align}$ gelten - und (wie ich vermute) auch für alle $\begin{align} m \end{align}$ ? Aber was bedeutet das $\begin{align} k \end{align}$ rechts? In der Reihendefinition ist das $\begin{align} k \end{align}$ der Laufindex - Ok, den kann man ja nennen wie man will. Aber welche Bedeutung soll das $\begin{align} k \end{align}$ außerhalb der Reihe haben, also in () ?
08.06.2016, 06:54	Hammala	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort, das gilt für alle 0 < m < 0.1, habe ich jetzt so festgelegt, das würde mir schon reichen, oh sorry!, das k ist eine 4, die Abschätzung hängt natürlich nicht mehr von k ab
09.06.2016, 18:07	Hammala	Auf diesen Beitrag antworten »
oder anders gefragt, ist das überhaupt möglich???
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09.06.2016, 18:45	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Güte, das hast du aber ziemlich umständlich ausgedrückt.. Es ist $\begin{eqnarray} a_j \end{eqnarray}$ eine Funktion, die sich in eine Potenzreihe entwickeln lässt und es gilt $\begin{eqnarray} \|a_j(m)\| \leq \frac{\|m\|}{j^4} \end{eqnarray}$ . Wenn du uns jetzt noch den Definitionsbereich deiner Funktion mitteilen kannst (und damit den Konvergenzbereich der Potenzreihe), dann kann man dir vielleicht helfen
09.06.2016, 18:50	Hammala	Auf diesen Beitrag antworten »
der Konvergenzbereich können wir uns wählen, also sagen wir \|m\|<0.08 ja, wenn wir das hinkriegen, wäre echt der Traum
09.06.2016, 19:13	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Und dürfen wir die Ungleichung nun nur für reelle $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ oder auch für komplexe voraussetzen? Wenn es nur reelle wären, kann man nichts machen. Die Funktion $\begin{eqnarray} x\mapsto \frac{1}{k^4}\sin(k^8x)x \end{eqnarray}$ erfüllt für alle $\begin{eqnarray} k\geq j \end{eqnarray}$ deine Voraussetzung, aber für $\begin{eqnarray} k\to\infty \end{eqnarray}$ wird die Ableitung beliebig groß für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ die beliebig nahe bei $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ liegen. Wenn wir den Konvergenzbereich beliebig wählen können, dürfen wir dann auch annehmen, dass die Reihe auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ konvergiert? Dann wäre es nämlich ziemlich einfach.
09.06.2016, 22:01	Hammala	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, m ist eigentlich reell, dann gibt es nur noch eine Möglichkeit, die gewollte Abschätzung zu finden (bis auf eine Konstante vielleicht) und zwar gilt diese letzte Gleichung: $\begin{eqnarray} a_j' = \sum_{i=-\infty , i \neq 0, i \neq j}^{\infty} [j,i]' a_i a_{i-j} + [j,i](a_i' a_{i-j} + a_i a_{i-j}') \end{eqnarray}$ , wobei diese Gleichung für alle ganzzahligen j (außer 0) gilt und mit $\begin{eqnarray} [j,i]:= -\frac{i}{j} \frac{4(j-1)i + 4j^2 + 4j - 2 - 9m^2}{2(4j^2-1)} \end{eqnarray}$

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