Berechnung des Stichprobenumfangs

07.06.2016, 20:28

Lorax2311

Berechnung des Stichprobenumfangs

Guten Abend liebe Leute,

in einer Aufgabe sollten wir den Stichprobenumfang berechnen. Allerdings habe ich Probleme beim Auflösen. ß ist gleich 0,9

$\begin{eqnarray*} 1-\beta = 1- \phi \left(1,645-\sqrt{n}\cdot 0,1063 \right) \end{eqnarray*}$

ergibt nach n aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} n = \frac{1}{0,1063^{2} }\cdot \left(1,645-\phi^{-1}(0,1) \right)^2 \end{eqnarray*}$

Ich weiss leider nicht wie ich mit dem $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ beim Umformen verfahren muss. Hat da jemand Tipps und Tricks für mich und kann mir unter die Arme greifen?

Schönen Abend und bis dahin,

Lorax2311

07.06.2016, 22:47

mYthos

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Du musst die Tabelle der Standardnormalverteilung benutzen, dort findest du z = - 1.2816 für dein p = 0.1 (1-p = 0.9)

--> https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_St...ormalverteilung

oder du befragst deinen Taschenrechner, falls dieser so etwas kann (n = rd. 758).

mY+

08.06.2016, 07:35

Lorax2311

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Das war mir bereits bekannt! smile

Mir geht es tatsächlich nur um die Umformungsschritte.

Gruß

09.06.2016, 13:21

mYthos

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Wenn dir das eh schon bekannt war, dann vllt. auch, dass man von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion bildet .. Augenzwinkern

Der Rest ist Algebra.

$\begin{eqnarray*} 0.1 = \Phi(1.645 - \sqrt n \cdot 0.1063) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(0.1) = 1.645 - 0.1063 \sqrt n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.1063 \sqrt n = 1.645 - \Phi^{-1}(0.1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt n = \frac{1.645 - \Phi^{-1}(0.1)}{0.1063} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n = \left( \frac{1.645 - \Phi^{-1}(0.1)}{0.1063} \right)^2 \end{eqnarray*}$

mY+

09.06.2016, 19:39

Lorax2311

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Mir ist der erste Schritt mit der Umkehrfunktion unklar verwirrt

Was passiert da genau?
Wie wird $\begin{eqnarray*} 0,1 = 1 - \phi \left(1,645-\sqrt{n}\cdot 0,1063 \right) \end{eqnarray*}$
zu
$\begin{eqnarray*} 0,1 = \phi \left(1,645-\sqrt{n}\cdot 0,1063 \right) \end{eqnarray*}$ ?
und dann zu

$\begin{eqnarray*} \phi^{-1}(0,1)=1,645-\sqrt{n}\cdot 0,1063 \end{eqnarray*}$

Was passiert mit der 1-..?
Das begreife ich leider noch nicht.

Gruß

11.06.2016, 00:36

mYthos

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Wir sind von folgender Anfangsgleichung ausgegangen:

$\begin{eqnarray*} 0.1 = \Phi(1.645 - \sqrt n \cdot 0.1063) \end{eqnarray*}$

Und von da an wurde $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ berechnet.
Woraus 0.1 letzendlich entstanden ist - war es gegeben oder wurde es durch die Gegenwahrscheinlichkeit (1 - p von p = 0,9) ersetzt, ist unbekannt, die Aufgabe war ja nicht vollständig angegeben.

Allerdings korrespondiert die zuerst angegebene Gleichung

Zitat:

Original von Lorax2311
...
ß ist gleich 0,9

$\begin{eqnarray*} 1-\beta = 1- \phi \left(1,645-\sqrt{n}\cdot 0,1063 \right) \end{eqnarray*}$

ergibt nach n aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} n = \frac{1}{0,1063^{2} }\cdot \left(1,645-\phi^{-1}(0,1) \right)^2 \end{eqnarray*}$
...

tatsächlich nicht mit der weiteren Rechnung. Eigentlich müsste man dann mit $\begin{eqnarray*} \beta = 0.9 \end{eqnarray*}$ weiterrechnen, weil die 1 auf beiden Seiten wegfallen muss.
Oder es gibt schon von Vornherein einen Angabefehler.

Aber egal - mit 0,1 oder 0,9 - du musst doch zu $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kommen.
Die Funktionswerte der inversen Phi-Funktion unterscheiden sich ja nur durch das Vorzeichen, es ergibt sich zwar ein anderes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , aber die Rechnung bleibt im Wesentlichen gleich.

mY+

12.06.2016, 11:29

Lorax2311

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Okay, ich komme leider nicht mehr mit. Ich verstehe das mit der Inverse einfach nicht, was genau passiert da bei der Umformung? Ich poste einfach mal die Aufgabe. Vielleicht habe ich tatsächlich einen Fehler gemacht:

Im Beispiel der Fernsehwerbung soll gezeigt werden, dass der Anteil der Werbeerinnerer in der Zielgruppe größer als 30% ist. Bei einem Erinnerer-Anteil von 35% soll die Strichprobe diesen Nachweis zum Signifikanzniveau von 5% mit 90%iger Sicherheit liefern. Wie groß muss hierfür der Stichprobenumfang sein.

Liegt tatsächlich ein Fehler vor?

Danke für deine Engelsgeduld mit mir,

bis dahin

Lorax2311

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