Untervektorraum in R^2

Neue Frage »

Flashuu Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum in R^2
Meine Frage:
Hallo Leute,

Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch, was Untervektorräume angeht.
Die Aufgabe ist die folgende.

Ich soll zeigen ob

a) x^2+y^2 = 0 in R2 ein UVR ist
b) x^2+y^2<=1 in R2 ein UVR ist
c) ob xy>= 0 in R^2 ein UVR ist

Meine Ideen:
Die UVR-Kriterien sind ja
1) U ist nicht die leere Menge
2) Abgeschlossenheit in der Addition
3) Abgeschlossenheit in der Multiplikation

Die leere Menge kann ich ja einfach dadurch zeigen, dass ich prüfe, ob der Nullvektor vorhanden ist.

Bspw ist bei a) ja sofort ersichtlich das x und y 0 sein müssen damit die Beziehung gilt.
bei b) wäre die Beziehung ebenfalls erfüllt
und bei c) genau so


So mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß wie es weiter geht. Wie soll ich die Abgeschlossenheit der Addition und Multiplikation überprüfen, wenn ich nicht alle Elemente aus R nehmen kann?
Wähle ich den Vektor (1,2) platzt ja in allen Aufgaben meine jeweilige Bedingung.

Ist es also dadurch, dass x,y eben nicht beliebig aus R gewählt werden kann überall kein UVR?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum in R^2
Zitat:
Original von Flashuu
Ist es also dadurch, dass x,y eben nicht beliebig aus R gewählt werden kann überall kein UVR?

Da denkst du ein bißchen falsch. Rein formal mußt du genau dieses zeigen:

Zitat:
Original von Flashuu
2) Abgeschlossenheit in der Addition
3) Abgeschlossenheit in der Multiplikation

Für die Abgeschlossenheit in der Addition nimmst du zwei beliebige Elemente v und w aus der betreffenden Menge und mußt dann zeigen, daß auch v+w ein Element dieser Menge ist.

Bei Aufgabe a ist das relativ leicht zu zeigen, da hier die Menge nur aus dem Nullvektor besteht. Augenzwinkern
Flashu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal
ich nehme also nur Elemente, die die Bedingungen erfüllen xy >0 bspw

Also v (1,2) w (2,3) prüfe ob die Beziehung immer noch gilt, wenn ich sie addiere und mit einer Zahl k aus R multipliziere?
Dann wäre ja xy >0 auch ein UVR richtig ? Der Nullvektor ist ebenfalls enthalten, weil xy >= 0 sein soll, also darf ich xy auch gleich 0 setzen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Flashu
Also v (1,2) w (2,3) prüfe ob die Beziehung immer noch gilt, wenn ich sie addiere und mit einer Zahl k aus R multipliziere?

Das Problem ist leider, daß du hier nur 2 bestimmte Vektoren v und w prüfst. Die Bedingung muß aber von allen möglichen v und w aus der betrachteten Menge erfüllt werden. smile
Flashu Auf diesen Beitrag antworten »

Wie zeige ich das formal ? Weil es ist ja offensichtlich, dass wenn die Komponenten aus v und w aus natürlichen Zahlen bestehen, dass Ergebniss zwangsläufig >= 0 ist.
Meine Bedingung bricht ja erst in sich zusammen, wenn eine Komponente negativ ist, aber die negativen Zahlen sind ja nicht mit inbegriffen.

Edit: die Bedingung ist auch noch erfüllt, wenn beide Komponenten negativ sind.
Also erhalte ich durch die Bedingung ja die Ebene im zweiten und dritten Quartal der kartesischem Koordinatensysteme.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Flashu
Weil es ist ja offensichtlich, dass wenn die Komponenten aus v und w aus natürlichen Zahlen bestehen

Aber ist das so? Wir reden ja schließlich von einem Untervektorraum des R².
 
 
Flashu Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja gerade meine Frage :P

Wenn ich die Komponenten (1,-2) nehme, gilt es nicht mehr.

Ist xy >= 0 also eine Bedingung wie ich die Komponenten wählen muss, oder müssen alle Elemente aus R (- unendlich , + unendlich) xy >=0 erfüllen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

1. Schritt: du definierst eine Menge M mit Elementen (x,y) aus R², wobei für jedes Element (x,y) gelten muß, daß xy >= 0 ist.
Das ist, wie man sich leicht denken kann, eine Teilmenge des R².

2. Schritt: nun stellt sich die Frage, ob diese tolle Menge M vielleicht ein Untervektorraum des R² sein könnte. Dazu müssen die von dir genannten Bedingungen (von allen Elementen der Menge M) erfüllt werden.

Die nun von dir zu erbringende Denkleistung ist, diese Bedingungen in eine mathematische Aussage zu gießen, damit man überhaupt mal sieht, was denn da konkret zu beweisen wäre.
Flashu Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaaaah danke
Also bspw
v+w mit v=(x1,y1) und w (x2,y2) bei denen gillt x,y >= 0
Da soll gelten (x1+x2,y1+y2)
Also muss (x1+X2)*(y1+y2) >=0 gelten

Wähle ich aber v(5,1) und w(-2,2) ist es nicht mehr >=0 also ist es kein UVR.

Für x^2+y2= 0 haben ich nur den Nullvektor, also ist es ein UVR.

In R2 ist ja eine gerade durch den Ursprung, der Nullvektor und R2 selbst, der einzig mögliche UVR
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Flashu
Wähle ich aber v(5,1) und w(-2,2) ist es nicht mehr >=0 also ist es kein UVR.

Das Beispiel ist schlecht gewählt, denn w ist kein Element von M.

Zitat:
Original von Flashu
In R2 ist ja eine gerade durch den Ursprung, der Nullvektor und R2 selbst, der einzig mögliche UVR

Das stimmt, aber es wäre schon praktisch, wenn du mit konkreten Beispielen zeigst, daß die Mengen in den Aufgabe b und c keine UVR sind. smile
Flashu Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry w sollte (-2,-2) sein. Das wäre ja wieder ein Element der Menge.

Danke erstmal für deine Hilfe. Ich hab das jetzt begriffen, dass ich meine Menge aus der Bedingung erstellen soll.

Gibt es da denn noch irgendwie einen Trick?

Wenn ich sowas bspw für R7 zeigen soll, kann es ja durchaus tricky werden ein Gegenbeispiel zu erzeugen.
Vorallem in einer Prüfungssituation und ich habe mir das ganze mal zeichnerisch verdeutlich, deswegen ist es in R2 jetzt kein Problem und in R3 auch nicht.

Ab R4 wird es dann halt blöd. Muss ich dann einfach in den sauren Apfel beißen und gezielt einsetzen, oder gibt's da ein paar Faustregeln?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas lapidar gesagt: Mengen, wo die Bedingung so formuliert ist, daß die Komponenten eines Elements in nicht-linearer Weise miteinander verknüpft werden, sind verdachtsweise keine UVR. (Aber eben nur verdachtsweise.) smile

Zitat:
Original von Flashu
Sorry w sollte (-2,-2) sein. Das wäre ja wieder ein Element der Menge.

OK. Dann paßt es.
Flashu Auf diesen Beitrag antworten »

Super danke dir smile

Bei geraden die nicht durch den Ursprung gehen, scheitert es dann nur daran, dass der Nullvektor nicht in der Menge ist richtig ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir ziemlich sicher, daß da die Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation ebenfalls verletzt wird. smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »