[Zahlentheorie] Eulersche-phi-Funktion, sichtbare Punkte

08.06.2016, 13:17

nullabbildung

[Zahlentheorie] Eulersche-phi-Funktion, sichtbare Punkte

Hallo zusammen, mit folgender Aufgabe kann ich nicht wirklich was anfangen:

Die Punkte $\begin{align*} (m, n) \neq (0, 0) \in \mathbb Z_2 \end{align*}$ mit $\begin{align*} mn \neq 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} \mbox{ggT}(m, n) = 1 \end{align*}$ nennt man sichtbar. Man gebe eine geometrische Interpretation der Summe $\begin{align*} \sum_{n\leq N} \varphi(n) \end{align*}$ in Termen von gewissen sichtbaren Punkten in $\begin{align*} \mathbb Z_2 \end{align*}$ .

Ich habe in einem $\begin{align*} 20 \times 20 \end{align*}$ -Koordinatensystem einfach mal die Punkte mit $\begin{align*} \mbox{ggT}(m,n)=1 \end{align*}$ und $\begin{align*} \sum_{n\leq N} \varphi(n) \end{align*}$ für $\begin{align*} n=1,2,\ldots,7 \end{align*}$ eingetragen ... aber dabei ist (zumindest in meinen Augen) nichts zu Tage getreten, was man irgendwie festhalten sollte. Hat sich jemand von euch schonmal mit der Aufgabe beschäftigt und weiß, was es da geometrisch so zu entdecken gibt? Ich bin im Moment jedenfalls ziemlich ratlos ...

(P.S.: Neben dem "latex-Button" wäre auch ein "mathjax-Button" nicht verkehrt ...)

08.06.2016, 21:40

HAL 9000

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RE: [Zahlentheorie] Eulersche-phi-Funktion, sichtbare Punkte

Zitat:

Original von nullabbildung (ergänzt)
Ich habe in einem $\begin{align*} 20 \times 20 \end{align*}$ -Koordinatensystem einfach mal die Punkte $\begin{align*} {\color{red}(m,n)} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \mbox{ggT}(m,n)=1 \end{align*}$ [...]eingetragen

Ich nehme an, du meinst es so?

Was aber bedeutet dann das:

Zitat:

Original von nullabbildung
und $\begin{align*} \sum_{n\leq N} \varphi(n) \end{align*}$ für $\begin{align*} n=1,2,\ldots,7 \end{align*}$ eingetragen

Wie bitte hast du diese Summe im Koordinatensystem "eingetragen" ? verwirrt

Zur Sache: Wenn $\begin{align*} S \end{align*}$ die Menge aller sichtbaren Punkte kennzeichnet, dann ist

$\begin{align*} \sum_{n\leq N} \varphi(n) = \sum_{n\leq N} \sum_{m\leq n} 1_S((m,n)) = \frac{1}{2} \left(1 + \sum_{m,n\leq N} 1_S((m,n)) \right) = \frac{1}{2} \left(1 + \left| \{1,\ldots,N\}^2 \cap S\right|\right) \end{align*}$ .

Begründung für das "1+": Es ist $\begin{align*} 1_S((n,n)) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; n=1 \\ 0& \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$ .

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