Borel-Cantelli Lemma / Ereignisumformung

08.06.2016, 13:46

Pompadur

Borel-Cantelli Lemma / Ereignisumformung

Hallo Ihr!

Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht so richtig weiter weiß:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{A}, P) \end{eqnarray*}$ ein W-Raum und $\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ eine P-unabhängige Folge identisch verteilter ZVen $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E(\left| X_1 \right|) = \infty \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} P\left( \limsup_{n\rightarrow\infty} \{ | X_n | > nc \} \right) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (c \in (0, \infty)). \end{eqnarray*}$

Als Hinweis wurden das Borel-Cantelli-Lemma, sowie ein Satz gegeben, der u.A. sagt, dass
Für $\begin{eqnarray*} X \in \mathcal{M}^+ (\mathcal{A}) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty P({X > n}) \leq E(X) \leq \sum_{n=0}^\infty P({X>n}) \end{eqnarray*}$

Um das Borel-Cantelli-Lemma anwenden zu können, muss ich ja zeigen, dass die $\begin{eqnarray*} A_n := \{ |X_n| > nc\} \end{eqnarray*}$ unabhängig sind und dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty P(A_n) = \infty \end{eqnarray*}$ gilt.

Für die Summe habe ich folgende Idee:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} \sum_{n=0}^\infty P(\{ |X_n| > nc\}) & = & \sum_{n=0}^\infty P(\{ \frac{1}{c} \cdot |X_n| > n\}) \\ & \overset{(*)}{\geq} & E(\frac{1}{c} |X|) ~~~ \textrm{(*) mit dem Hinweis}\\ & = & \frac{1}{c} \cdot E(|X|) & = & \infty \end{array} \end{eqnarray*}$

Subtrahiert man auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} P( \{ |X_0| > 0 \cdot c \}) \in [0,1] \end{eqnarray*}$ , dann erhält man das Gewünschte.
Allerdings habe ich keine Ahnung, ob man die Umformungen überhaupt so machen darf und ich weiß leider auch nicht, wie man zeigen (oder woran man sehen kann), dass die $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ unabhängig sind unglücklich

Ich habe da schon ewig hin und her überlegt, aber ich komme einfach nicht weiter, ich hoffe ihr könnt mir helfen!

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