Weglänge berechnen

08.06.2016, 15:58	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Weglänge berechnen Aufgab: Berechne die Länge des Weges $\begin{eqnarray} \gamma:[0,4\pi]\to\mathbb R^3 \quad \gamma(t)=(r cos t, r sin t, st) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} r,s>0 \end{eqnarray}$ Lösung: Es gilt $\begin{eqnarray} \dot\gamma(t)=(-r sin t, r cos t, s) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \langle \dot\gamma(t), \dot\gamma (t) \rangle = r^2 + s^2 \end{eqnarray}$ Wir erhalten für die Länge $\begin{eqnarray} \int_0^{4\pi} \\|\dot\gamma(t)\\|dt=4pi\sqrt{r^2+s^2} \end{eqnarray}$ Frage: Wieso wird hier über die Norm der Ableitung integriert und nicht über die Norm des Pfades selbst?
08.06.2016, 19:27	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Weglänge berechnen Vielleicht solltest Du mal ein paar sinvolle geometrische bzw. physikalische Vorstellungen mit der Sache verbinden. $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist die Zeit und $\begin{eqnarray} \gamma(t) \end{eqnarray}$ ist der Ort zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \dot\gamma \end{eqnarray}$ ist die vektorielle Geschwindigkeit und $\begin{eqnarray} \|\|\dot{\gamma}\|\| \end{eqnarray}$ ist die richtungslose skalare Geschwindigkeit, die ein Tachometer anzeigen wuerde. $\begin{eqnarray} ds=\|\|\dot{\gamma}(t)\|\|\,dt \end{eqnarray}$ ist ein infinitesimales Wegstueckchen, das im infinitesimalen Zeitraum $\begin{eqnarray} dt \end{eqnarray}$ durchlaufen wird (Weg = Geschwindigkeit mal Zeit). Die Summe aller Wegstueckchen zwischen zwei Zeitpunkten $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s=\int_{t_1}^{t_2}ds=\int_{t_1}^{t_2}\|\|\dot{\gamma}(t)\|\|\,dt \end{eqnarray}$ ist der in diesem Zeitintervall zurueckgelegte Weg, also die Laenge des erzeugten Kurvenstuecks. Dagegen ist $\begin{eqnarray} \int_{t_1}^{t_2}\|\|\gamma(t)\|\|\,dt \end{eqnarray}$ nur ein uninterpretierbarer Haufen Mist. Was soll Abstand vom Nullpunkt mal Zeit darstellen?
09.06.2016, 15:10	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Ich denke das ganze ist nun klar. Hab mich nochmal hingesetzt und es durchgekaut, sollte so passen. danke

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