Flächeninhalt regelmäßiges Zwölfeck

08.06.2016, 19:13	Zeromant	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt regelmäßiges Zwölfeck Meine Frage: Entweder habe ich ein Brett vor dem Kopf (wahrscheinlich), oder bei Wikipedia steht Mist (nicht völlig auszuschließen). Wenn man bei einem regelmäßigen Zwölfeck die Länge einer Seite mit a bezeichnet, und die Spanne (definiert als Abstand zweier paralleler Seiten, und damit gleich dem doppelten Radius des Inkreises) als S, ist der Flächeninhalt des Zwölfecks dann tatsächlich 6Sa, wie dort steht? Meine Ideen: Mein Problem mit dieser Antwort ist dieses: Wenn ich die Endpunkte einer Seite jeweils mit den ihnen gegenüberliegenden Eckounkten verninde, erhalte ich doch ein Rechteck mit den Seitenlängen S und a, richtig? Wenn ich dies mir allen sechs parallelen Seitenpaaren wiederhole, erhalte ich somit insgesamt sechs Rechtecke mit der Fläche Sa, welche insgesamt den kompletten Flächeninhalt des Zwölfecks abdecken. Das ergibt zwar genau die genannte Gesamtfläche von 6S*a - aber diese Rechtecke überschneiden sich doch offensichtlich! Der Flächeninhalt des Zwölfecks müsste also deutlich kleiner sein. Wo liegt mein Denkfehler? Oder liegt doch Wikipedia falsch?
08.06.2016, 19:34	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn das alles so definiert ist, wie du sagst, dann kann das nicht stimmen. Das sagt einem ja schon der gesunde Menschenverstand(!), dass 6 * S*a viel zu viel ist. Richtig wäre wohl die Hälfte. Wo steht das denn bei Wikipedia. Auf die Schnelle finde ich deine Formel da nicht.
08.06.2016, 19:38	Zeromant	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich darf hier keine URL posten. Es ist https://en.wikipedia.org/wiki/Dodecagon#Area Ziemlich weit oben, unter "Area". Habe den Link eingefügt. Guppi12
08.06.2016, 20:13	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sollte $\begin{eqnarray} 3aS \end{eqnarray}$ sein. Kann man aus dem Bild auch überschlagsmäßig abschätzen: Der Radius ist ca. 2a. Damit wäre die Fläche des Umkreises $\begin{eqnarray} 4a^2\pi \end{eqnarray}$ , also ca. $\begin{eqnarray} 12 a^2 \end{eqnarray}$ Nach der Wikipedia Formel wäre es aber ca. $\begin{eqnarray} 6a4a = 24a^2 \end{eqnarray*}$ .
08.06.2016, 20:23	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe auch die umständliche Herleitung dort nicht. Man hat doch 12 Dreiecksflächen. Jedes Dreieck hat Grundseite a und Höhe S/2. das liefert sofort exakt den richtigen Wert.
08.06.2016, 20:35	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs mal geändert.
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