Fragen zur partiellen Differenzierbarkeit und zur lokalen Invertierbarkeit

08.06.2016, 22:19

vogs

Fragen zur partiellen Differenzierbarkeit und zur lokalen Invertierbarkeit

Ich verstehe nicht ganz, warum aus "partiell differenzierbar" nicht die Stetigkeit folgt. Damit eine Fkt. als partiell differenzierbar gilt, müssen doch alle partiellen Ableitungen existieren und die partiellen Ableitungen sind ja über den Grenzübergang definiert. Dafür muss die Funktion dann ja für das entsprechende xi stetig sein oder? Wenn die Fkt. z.B. für xk nicht stetig wäre, würde ja die partielle Ableitung nach xk nicht existieren und daher wäre die Fkt. ja auch nicht partiell differenzierbar oder verstehe ich das falsch?

Zur lokalen Invertierbarkeit (Satz über die Umkehrfunktion): http://www.mathepedia.de/Umkehrsatz.aspx

Wieso wird hier über die Jacobimatrix "definiert"? Wenn ich dann die Inverse der Jacobimatrix bilde, dann habe ich ja die Inverse der Ableitung und nicht die Inverse der ursprünglichen Fkt oder? Wie komme ich zu Inversen der ursprünglichen Fkt?
Wenn ich z.B. folgende Fkt habe (rein fiktiv): $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{pmatrix} x^2+xy+y\\ x+y^4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kann ich da ja nichts umkehren.

08.06.2016, 22:26

10001000Nick1

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Zu deiner ersten Frage: Betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2\to\mathbb R, x\mapsto \begin{cases} 1 & \text{falls } x=0\text{ oder } y=0 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .
Diese Funktion ist in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ partiell differenzierbar, aber nicht stetig.

Zu deiner zweiten Frage: Im allgemeinen ist es gar nicht möglich, die Umkehrfunktion explizit anzugeben. Man weiß nur, dass sie existiert und kann ihre Ableitung aus der Ableitung der ursprünglichen Funktion berechnen.

08.06.2016, 22:36

vogs

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Zu deiner ersten Frage: Betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2\to\mathbb R, x\mapsto \begin{cases} 1 & \text{falls } x=0\text{ oder } y=0 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .
Diese Funktion ist in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ partiell differenzierbar, aber nicht stetig.

Puh, mit dem tu ich mir ehrlich gesagt etwas schwer. Welche Fkt. muss ich da dann betrachten. Die aus dem R2 oder im R?

Zitat:

Zu deiner zweiten Frage: Im allgemeinen ist es gar nicht möglich, die Umkehrfunktion explizit anzugeben. Man weiß nur, dass sie existiert und kann ihre Ableitung aus der Ableitung der ursprünglichen Funktion berechnen.

Sehr aufschlussreich Danke! Den Satz hätte das Skript wohl auch noch vertragen (naja, was solls). Und die Ableitung der Umkehrfunktion kann ich einfach durch invertieren (wenn die Matrix nicht singulär ist) der Jacobimatrix bestimmen. Und die Aussage ob sie lokal invertierbar ist gewinne ich eben aus der Invertierbarkeit der Jacobimatrix. Korrekt soweit?

08.06.2016, 22:44

10001000Nick1

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Zitat:

Original von vogs
Puh, mit dem tu ich mir ehrlich gesagt etwas schwer. Welche Fkt. muss ich da dann betrachten. Die aus dem R2 oder im R?

Du hast eine Funktion, die von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abbildet. Jedem Punkt auf einer der beiden Koordinatenachsen wird der Funktionswert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ zugeordnet, allen anderen Punkten $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von vogs
Korrekt soweit?

Ja.

08.06.2016, 22:52

vogs

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Zitat:

Ich glaube momentan ist genau das der Punkt, der mir die Schwierigkeiten bereitet. Als wir bei der Analysis noch im $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ waren, gab es ja auch eine x- und y-Achse. Bei deiner Fkt. würde ja ein Wertepaar von x- und y-Werten auf entweder 1 oder 0 abbilden, also quasi nur auf einen Zahlenstrahl und nicht auf eine xy Ebene. Warum war dann "früher" die Rede vom $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , obwohl eigentlich im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gezeichnet wurde.
Irgendwo ist da der Knopf bei mir im Hirn.

08.06.2016, 22:57

10001000Nick1

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Das, was du dir bei einer Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ im zweidimensionalen vorstellst, ist der Graph der Funktion. Das ist die Menge $\begin{eqnarray*} \operatorname{graph}(g):=\{(x,f(x))\in\mathbb R^2\mid x\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$ .

Oder allgemeiner: Der Graph einer Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R^n\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{graph}(g):=\{(x,f(x))\in\mathbb R^{n+1}\mid x\in\mathbb R^n\} \end{eqnarray*}$ ; also eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Den Graphen obiger Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ musst du dir deswegen als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ vorstellen.

08.06.2016, 23:08

vogs

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Ah vielen Dank! Es tut mir leid, trotzdem verstehe ich nicht, wie diese Fkt dann im Pkt (0,0) partiell differenzierbar ist.

08.06.2016, 23:19

10001000Nick1

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Ich sehe gerade, dass ich oben einen kleinen Fehler gemacht habe. Es sollte heißen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2\to\mathbb R, \textcolor{red}{(x,y)}\mapsto \begin{cases} 1 & \text{falls } x=0\text{ oder } y=0 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .
Vielleicht deswegen die Verwirrung?

Ich versuche es erstmal, anschaulich zu erklären:

Wenn du überprüfen willst, ob eine Funktion im Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ partiell differenzierbar in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Richtung ist, schaust du dir nur an, wie die Funktion ausgehend vom Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ (in einer kleinen Umgebung) in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Richtung verläuft. Alle anderen Funktionswerte interessieren da nicht.

Und weil die Funktion auf der gesamten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse konstant $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist, ist die partielle Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Richtung gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Genauso funktioniert das für die partielle Ableitung in $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Richtung.
Soweit klar?

Und jetzt formal mit der Definition:

Die partielle Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Richtung ist definiert als $\begin{eqnarray*} f_x(0,0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} \end{eqnarray*}$ . Kannst du diesen Grenzwert berechnen?

09.06.2016, 08:03

vogs

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Ja der Grenzwert ist 0 weil $\begin{eqnarray*} f(0+h,0)=0 \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist und sich $\begin{eqnarray*} h->0 \end{eqnarray*}$ annähert. Ah, weil ich mich bei der partiellen Ableitung ja nur entlang der Koordinatenachsen annähere.

Dann fehlt mir aber irgendwie der Sprung zur (totalen) Differenzierbarkeit aus welcher dann ja die Stetigkeit folgt. Ich berechne ja die Jacobi Matrix, da hab ich mich ja auch "nur" von jeder Koordinatenachse angenähert und nicht von allen oder?

09.06.2016, 08:42

10001000Nick1

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Zuerst definiert man die totale Ableitung als lineare Abbildung mit bestimmten Eigenschaften (sofern sie existiert).
Falls die Funktion in einem Punkt total differenzierbar ist (und nur dann), dann ist diese lineare Abbildung durch die Jacobi-Matrix gegeben. In allen anderen Punkten entspricht die Jacobi-Matrix nicht der totalen Ableitung (eben weil diese ja gar nicht existiert).

Totale Differenzierbarkeit in einem Punkt folgt beispielsweise daraus, dass die Funktion in einer Umgebung dieses Punktes stetig partiell differenzierbar ist.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ von oben ist jedoch im Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ nicht total differenzierbar.

09.06.2016, 11:13

vogs

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Vielen Dank! Wenn sie stetig partiell differenzierbar ist, ist quasi eh alles klar. Dann ist alles super paletti smile

Ah ja jetzt glaube hab ich es!

Ich bin so frei und schließe hier auch noch eine Frage an, die in einem etwas älteren Thread unbeantwortet blieb. Ich bin der Meinung, dass das auch gut hier her passt (nicht unbedingt zum Thread Thema aber zum Thread Verlauf).

Folgende Fkt: $\begin{eqnarray*} g(x,y)=\begin{pmatrix} e^x cosy\\ e^x siny \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(\mathbb{R}^2) \end{eqnarray*}$

Ich soll das sowohl als bestimmen Menge als auch als geometrisches Objekt skizzieren.

Wie kann ich mir das jetzt vorstellen bzw. machen. Muss ich einmal den R2 skizzieren und dann ein 2. mal und muss quasi vom einen in den anderen Abbilden. Bekomme ich ein Vektorfeld wo ich g(x,y) vorgebe (den Vektor dort quasi anhefte) und dann entsprechend x und y Koordinaten wohin der Vektor in dem Punkt zeigt?
Oder bekomme ich 2 3-dim Bilder. 1 für $\begin{eqnarray*} e^x cosy \end{eqnarray*}$ und eins für $\begin{eqnarray*} e^x siny \end{eqnarray*}$ ,

Wobei das mit dem "Anheften" wohl bei folgendem Bsp (selbe Aufgabenstellung) schwierig wird.
$\begin{eqnarray*} h(r,\phi)=\begin{pmatrix} r*cos(\phi)\\ r*sin(\phi)\\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(wenn ich mich recht erinnere, soll das eine Schraubenbewegung darstellen).

09.06.2016, 19:05

10001000Nick1

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Zitat:

Original von vogs
Folgende Fkt: $\begin{eqnarray*} g(x,y)=\begin{pmatrix} e^x cosy\\ e^x siny \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(\mathbb{R}^2) \end{eqnarray*}$

Ich soll das sowohl als bestimmen Menge als auch als geometrisches Objekt skizzieren.

Du sollst wohl das Bild der Funktion bestimmen, d.h. die Menge $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} g(\mathbb R^2) &=\{g(x,y)\in\mathbb R^2\mid (x,y)^T\in\mathbb R^2\} \\ &=\{(e^x\cos(y), e^x\sin(y))^T\in\mathbb R^2\mid (x,y)^T\in\mathbb R^2\}. \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Den Graphen dieser Funktion kannst du nicht zeichnen, denn das ist eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ .

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