Extremwertbestimmung mit Nebenbedingung

11.06.2016, 08:43	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertbestimmung mit Nebenbedingung Hallo, bei folgender Aufgabe bin ich mir unsicher: Der Abstand wäre ja : $\begin{eqnarray} f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ Nach einiger Recherche bin ich darauf gestoßen, dass man das auch ohne Wurzel machen kann, aufgrund der Monotonie, also ist meine Funktion: $\begin{eqnarray} f(x,y) = x^2+y^2 \end{eqnarray}$ und meine Nebenbedingung: $\begin{eqnarray} ax+by-c = 0 \end{eqnarray}$ Dann habe ich die Lagrange Funktion aufgestellt: $\begin{eqnarray} L = f(x,y) - \lambda g(x,y) \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} x^2+y^2 - \lambda * (ax+by-c) \end{eqnarray}$ diese habe ich dann partiell abgeleitet: 1. $\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial x} = 2x-\lambda * a \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial y} = 2y-\lambda * b \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial \lambda} = -ax-by+c \end{eqnarray}$ Dann habe ich die 3 Ableitungen = 0 gesetzt und 1. und 2. nach $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ umgestellt. Dann bekomme ich: $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{2x}{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{2y}{b} \end{eqnarray}$ . Dann habe ich $\begin{eqnarray} \frac{2x}{a} = \frac{2y}{b} \end{eqnarray}$ nach y aufgelöst und bekomme $\begin{eqnarray} y = \frac{xb}{a} \end{eqnarray}$ Das habe ich in 3. eingesetzt und nach x aufgelöst und bekomme: $\begin{eqnarray} x = \frac{ca}{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ Das habe ich dann nochmal in y eingesetzt, sodass ich für y raus habe: $\begin{eqnarray} y = \frac{cb}{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{2c}{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ Kann ich jetzt einfach mein x und y in meine Abstandsfunktion einsetzen: $\begin{eqnarray} f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ ? Bzw. Ist mein Weg bis dahin richtig gewesen? Danke schonmal
11.06.2016, 09:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein kleiner Kritikpunkt: Dein Beweis funktioniert, falls $\begin{align} a \neq 0 \end{align}$ und $\begin{align} b \neq 0 \end{align}$ ist. Es ist aber nur $\begin{align} a^2 + b^2 \neq 0 \end{align}$ vorausgesetzt, wenn eine Gerade vorliegt. Wenn du 1. nach $\begin{align} x \end{align}$ und 2. nach $\begin{align} y \end{align}$ auflöst und beide in 3. einsetzt, kannst du Divisionen vermeiden. Sonst ist aber alles richtig. Jetzt kannst du die Werte für $\begin{align} x \end{align}$ und $\begin{align} y \end{align}$ in $\begin{align} f \end{align}$ bzw. $\begin{align} \sqrt{f} \end{align}$ einsetzen, um das Minimum zu bestimmen. Und es ergibt sich genau der Wert, den man auch mit Methoden der Analytischen Geometrie erhält, z.B. mit der Hesseschen Normalform. Inwieweit du noch die Existenz eines Minimums begründen mußt oder dich auf die geometrische Anschauung berufen darfst, weiß ich nicht.
11.06.2016, 10:08	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar danke für den Hinweis. Also habe ich als Abstand: $\begin{eqnarray} \sqrt{(\frac{ca}{a^2+b^2})^2+(\frac{cb}{a^2+b^2})^2} \end{eqnarray}$ ? Ja das wäre meine nächste Frage gewesen. Woher weiß ich jetzt, dass das wirklich der minimale Abstand ist? Hab gelesen, dass man das nicht so einfach mit der Hesse Matrix der Lagrange Funktion machen kann. Und in der Vorlesung hatten wir glaube ich auch nichts, womit man das zeigen kann.

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