2x2 Matrizen aus Eigenvektoren bestimmen

12.06.2016, 14:34

yannic231

2x2 Matrizen aus Eigenvektoren bestimmen

Meine Frage:
Ich muss alle 2x2 Matrizen bestimmen, deren Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und [latex]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/latex sind. Eigenwerte sind nicht gegeben.

Meine Ideen:
Ich habe mithilfe von Online-Rechnern (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenmatrix.htm) nun bereits mögliche Ergebnisse gefunden. Das Problem hierbei ist, dass durch Variieren der Eigenwerte recht viele verschiedene Lösungen entstehen. Sind die beiden Eigenwerte gleich, entsteht eine Diagonalmatrix (bzw. Vielfache davon).

Mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht weiß, wie sehr ich die Eigenwerte frei erfinden darf bzw. wie die Aufgabe allgemein zu lösen ist. Es reicht ja nicht aus, wenn ich nur eine mögliche Matrix hinschreibe, da ja alle Lösungen gefragt.

Wie kann ich diese Aufgabe (allgemein) lösen? Gibt es hierfür bestimmte Lösungsansätze?

12.06.2016, 14:36

yannic231

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RE: 2x2 Matrizen aus Eigenvektoren bestimmen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sorry, Klammer vergessen.

12.06.2016, 15:24

HAL 9000

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RE: 2x2 Matrizen aus Eigenvektoren bestimmen
Weise den beiden Eigenwerten doch einfach Parameter zu! D.h., mit deiner Matrix $\begin{align*} V = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \end{align*}$ an (Spalten-)Eigenvektoren muss für solche Matrizen $\begin{align*} A \end{align*}$ dann gelten

$\begin{align*} A\cdot V = V\cdot \begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & b\end{pmatrix} \end{align*}$

$\begin{align*} A = V\cdot \begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & b\end{pmatrix}\cdot V^{-1} \end{align*}$ .

Und das schlicht "ausrechnen", da bekommst du eine 2x2-Matrix $\begin{align*} A \end{align*}$ , wo alle vier Einträge von $\begin{align*} a,b \end{align*}$ abhängen - und das ist die gesuchte Lösung.

12.06.2016, 15:26

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RE: 2x2 Matrizen aus Eigenvektoren bestimmen
Als erstes kannst du Bezeichnungen erfinden. Deine beiden Eigenvektoren heißen v_1 und v_2, die zugehörigen Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2 \end{eqnarray*}$ , die gesuchte Matrix A.
Dann überleg dir, was das Ergebnis der Matrixmultplikation $\begin{eqnarray*} A\begin{pmatrix}v_1,v_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist
Edit: Zu spät Wink

12.06.2016, 16:25

yannic231

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RE: 2x2 Matrizen aus Eigenvektoren bestimmen
Danke schonmal! Habe nun folgend gerechnet (mit dem Lösungsansatz von HAL 9000):

$\begin{align*} A = V\cdot \begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & b\end{pmatrix}\cdot V^{-1} \end{align*}$

$\begin{align*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & b\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5\\ 0.5 & -0.5\end{pmatrix} \end{align*}$

$\begin{align*} A = \begin{pmatrix} \frac{a+b}{2} & \frac{a-b}{2}\\ \frac{a-b}{2} & \frac{a+b}{2}\end{pmatrix} \end{align*}$

$\begin{align*} \forall a, b \in \mathbb R \end{align*}$

Stimmt das so, und bin ich damit schon fertig? Oder muss ich das noch näher beschreiben?

13.06.2016, 18:24

HAL 9000

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M.E. reicht das. Man könnte noch umparametrieren, um so die allgemeine Lösung "gefälliger" zu schreiben: Mit $\begin{align*} c:=\frac{a+b}{2} \end{align*}$ und $\begin{align*} d:=\frac{a-b}{2} \end{align*}$ ist klar, dass alle Matrizen der Struktur

$\begin{align*} A = \begin{pmatrix} c & d\\ d & c\end{pmatrix} \end{align*}$ mit beliebigen $\begin{align*} c,d \end{align*}$

die Lösungsmenge bilden, die zugehörigen Eigenwerte sind dann $\begin{align*} a=c+d \end{align*}$ sowie $\begin{align*} b=c-d \end{align*}$ .

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