Volumen abgeschlossener Quader gleich L1-Norm

12.06.2016, 14:41	Deukr41	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen abgeschlossener Quader gleich L1-Norm Meine Frage: Hallo! Der Beweis, dass ein abgeschlossener Quader A im R^n gleich der L1-Halbnorm der charakteristischen 1(A) Funktion des Quaders ist, geht von zwei Ungleichungen aus und nutzt dann die Kompaktheit der Menge um endliche offene Überdeckungen zu nutzen. Geht das aber nicht einfacher? Meine Ideen: Sei B das (offene) Innere von A, vol das Volumen, L1 die Halbnorm und Int das Integral der Treppenfunktion. Dann ist $\begin{eqnarray} 1(B) \leq 1(A) \Rightarrow L1(1(A)) \geq L1(1(B) = Int(1(B)) = vol (B) = vol (A) \end{eqnarray}$ Und sei andersrum U eine offene Menge die A enthält, nur so viel größer, dass für ein vorgegebenes epsilon: $\begin{eqnarray} vol(U) \leq e + vol(A) \end{eqnarray}$ Dann folgt $\begin{eqnarray} 1(U) \geq 1(A) \Rightarrow L1(1(A)) \leq L1(1(U) = vol(U) \leq vol(A) + e \end{eqnarray}$ Also Gleicheit.

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