Austauschbare Zufallsvariable

13.06.2016, 14:05

Leone

Austauschbare Zufallsvariable

Hallo!

Ich habe hier folgende Aufgabe:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} (\Omega_1, \mathcal{A}_1, Q) \end{eqnarray*}$ ein W-Raum, $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{A}) \end{eqnarray*}$ ein Messraum und $\begin{eqnarray*} K: \Omega_1 \times \mathcal{A} \to [0,1] \end{eqnarray*}$ ein stochastischer Kern. Für $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega_1 \end{eqnarray*}$ wird mit $\begin{eqnarray*} K^n (\omega, .) \end{eqnarray*}$ das Produktmaß $\begin{eqnarray*} \bigoplus\limits_{j=1}^{n} K(\omega, .) \end{eqnarray*}$ bezeichnet; offenbar ist $\begin{eqnarray*} K^n (\omega, .) \end{eqnarray*}$ ein W-Maß auf dem Produkmessraum $\begin{eqnarray*} (\Omega^n, \mathcal{A}^n) := \left( \times_{j=1}^n \Omega, \bigoplus\limits_{j=1}^n \mathcal{A} \right) \end{eqnarray*}$ .
Das W-Maß P auf dem Messraum $\begin{eqnarray*} (\Omega^n, \mathcal{A}^n ) \end{eqnarray*}$ sei definiert druch:
$\begin{eqnarray*} P(A):= \int_{\Omega_1} K^n (\omega, A) dQ(\omega). \end{eqnarray*}$
Wir spezifizieren die ZVen $\begin{eqnarray*} X_1, ..., X_n: \Omega^n \to \Omega \end{eqnarray*}$ als die Projektionen $\begin{eqnarray*} X_j(\omega_1, ..., \omega_n) := \omega_j \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} j=1,...,n \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass die ZVen $\begin{eqnarray*} X_1, ..., X_n \end{eqnarray*}$ austauschbar bezüglich P sind.

Ich sitze jetzt schon einen Tag daran und komme leider auf keinen grünen Zweig.
Meine Idee ist, dass ich ja zeigen muss, dass die Verteilungen der $\begin{eqnarray*} (X_i)_{i \in \{1,...,n\}} \end{eqnarray*}$ gleich sind, also dass für zwei Variablen $\begin{eqnarray*} j,k \in \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X_j^{-1}(A))= P(X_k^{-1}(A)) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$
gilt.
Allerdings komme ich schon bei $\begin{eqnarray*} P(X_j^{-1}(A)) = \int_{\Omega_1} \bigoplus\limits_{i=1}^n K(\omega, X_j^{-1}(A)) dQ(\omega) \end{eqnarray*}$ nicht weiter, wie ich da Gleichheit zeigen könnte :/
Hat jemand vielleicht eine Idee oder einen Ansatz?

14.06.2016, 07:39

Zündholz

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RE: Austauschbare Zufallsvariable
Hallo,
angenommen $\begin{eqnarray*} n = 2 \end{eqnarray*}$ (nur zur Verdeutlichung, allgemein ist das dann ganz analog) nach Definition gilt dann:

$\begin{eqnarray*} P(X_2^{-1}(A))&= \int_{\Omega_1} K(\omega, \Omega) \cdot K(\omega, A) dQ(\omega) = \int_{\Omega_1} K(\omega, A) \cdot K(\omega, \Omega) dQ(\omega) \\ &= \int_{\Omega_1} \left(\bigoplus\limits_{i=1}^2 K(\omega, \cdot)\right) (X_1^{-1}(A)) dQ(\omega) = P(X_1^{-1}(A)). \end{eqnarray*}$

Allgemein muss man folgendes zeigen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Austauschb...ufallsvariablen

Schöne Grüße

14.06.2016, 11:51

Leone

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Hab vielen Dank, ich glaube jetzt habe ich es verstanden!

Wir haben definiert, dass eine Sequenz $\begin{eqnarray*} X_1, ..., X_n : \Omega_1 \to \Omega \end{eqnarray*}$ von ZVen austauschbar ist, wenn für jede Permutation $\begin{eqnarray*} \pi : \{1,..., n\} \to \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ die Tuppel $\begin{eqnarray*} (X_{\pi(1)}, \dots, X_{\pi(n)}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (X_1, \dots, X_n) \end{eqnarray*}$ identisch verteilt sind.

Ich habe mir jetzt gedacht:
Seien $\begin{eqnarray*} j \in \{1, \dots, n\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i:=\pi(j) \end{eqnarray*}$ eine beliebige Permutation von $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ , dann ist für $\begin{eqnarray*} A \in \Omega \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_j^{-1}(A) = \{(\omega_k)_{k \in \{1,\dots, n\}} \in \Omega^n | \omega_j = A\} \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt dann

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{lcl} P(X_j^{-1}(A)) & \overset{*}{=} & \int_{\Omega_1} K(\omega, \Omega) \cdots K(\omega, \Omega) \cdot K(\omega, A) \cdot K(\omega, \Omega) \cdots K(\omega, \Omega) dQ(\omega)\\ & \overset{**}{=} & \int_{\Omega_1} K(\omega, A) dQ(\omega) \\ & \overset{***}{=} & \int_{\Omega_1} K(\omega, \Omega) \cdots K(\omega, \Omega) \cdot K(\omega, A) \cdot K(\omega, \Omega) \cdots K(\omega, \Omega) dQ(\omega)\\ & = & P(X_i^{-1}(A)). \end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} *: K(\omega,A) \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ er Stelle
$\begin{eqnarray*} **: \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein stochastischer Kern von $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist.
$\begin{eqnarray*} ***: K(\omega, A) \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ter Stelle

Und damit gilt, dass $\begin{eqnarray*} (X_{\pi(1)}, \dots, X_{\pi(n)}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (X_1, \dots, X_n) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A \in \Omega \end{eqnarray*}$ identisch verteilt und somit austauschbar sind.

Stimmt das dann so oder habe ich noch irgendwo einen Fehler?

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