Eigenschaft einer positiv semidefiniten hermiteschen Matrix

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guest122 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaft einer positiv semidefiniten hermiteschen Matrix
Hallo!

Ich bekommen folgende Aufgabe nicht hin:
Sei mit . Zeigen Sie: Ist positiv semidefinit und gilt , dann sind
alle Einträge in Zeile und Spalte gleich 0.

ich habe schon versucht, die Matrix von links und von rechts mit verschiedensten Summen von Einheitsvektoren zu multiplizieren und auszunützen, dass die Matrix positiv semidefinit ist, allerdings komme ich zu keinem Ergebnis... Komme ich auf diesem Weg auf die Aussage?

Wäre für Hilfe sehr dankbar!
LG
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Da A hermitisch ist, sind die Eigenwert reell. Da A positiv semidefinit ist, sind diese Eigenwerte entweder Null oder positiv. Bei hermitschen Matrizen kann man das Koordinatensystem stets so drehen, dass die Matrix A bezüglich des gedrehten Koordinatensystems diagonal wird, also



Dabei stehen in der Hauptdiagonalen die positiven Eigenwerte bzw. n-m Nullen. Wenn alle Diagonalelemente (also alle Eigenwerte) verschwinden, hat man im gedrehten Koordinatensystem eine Nullmatrix. Nun kann man das Koordinatensystem in eine beliebige andere Lage "zurückdrehen": Eine Nullmatrix bleibt dabei stets eine Nullmatrix.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne unnoetige Komplettloesung mit unnoetig viel Theorie: Betrachte
fuer Einheitsvektoren und alle (!) reellen Zahlen . Damit kann man bereits folgern, dass , falls .
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