Teilbarkeitsbedingung von Polynomen

13.06.2016, 19:22	steph88	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeitsbedingung von Polynomen Hallo miteinander, ich hänge gerade an Folgender Aufgabenstellung fest: "Für welche $\begin{eqnarray} a, b \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ ist das Polynom $\begin{eqnarray} (X-1)^2 \end{eqnarray}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray} f(x)= aX^{30} + bX^{15} + 1 \end{eqnarray}$ ?" Aktuell bin ich von meinem Gedanken leider nur so weit gekommen, dass ich weiß, dass wenn $\begin{eqnarray} (X-1)^2 \| f(x) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ alle Nullstellen von $\begin{eqnarray} (X-1)^2 \end{eqnarray}$ sind auch Nullstellen in $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ . Somit ergibt sich wegen $\begin{eqnarray} f(1)= a + b + 1 = 0 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} a + b = -1 \end{eqnarray}$ gelten muss. Da 1 Doppelte Nullstelle des teilenden Polynoms ist, muss außerdem $\begin{eqnarray} \frac{f(x)}{(X-1)} \end{eqnarray}$ ebenfalls die Nullstelle 1 besitzten und erneut durch $\begin{eqnarray} (X-1) \end{eqnarray}$ teilbar sein. Leider wird $\begin{eqnarray} \frac{f(x)}{(X-1)} \end{eqnarray}$ in ausgerechneter form so komplex, dass man nichts aus der Aussage gewinnen kann. Hat jemand Hinweise für mich, wie ich an die Aufgabe rangehen kann? Danke schon mal im Voraus dafür
13.06.2016, 19:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeitsbedingung von Polynomen Eins ist einfache Nullstelle von $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ (warum?)
15.06.2016, 06:12	steph88	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhhh logisch danke. 1 ist auch Nullstelle der Ableitung, da 1 doppelte Nullstelle des Teilerpolynoms $\begin{eqnarray} (x-1)^2 \end{eqnarray}$ und somit mindestens doppelte Nullstelle von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray} f'(1)=30a + 15b = 0 \end{eqnarray}$ . Somit haben wir ein Gleichunssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen => Wir können das Gleichunssystem lösen. Danke!!

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