Extremwertaufgabe maximaler Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck |
14.06.2016, 13:54 | TheLastOfUs | Auf diesen Beitrag antworten » |
Extremwertaufgabe maximaler Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck HalliHallo Ich sitze momentan an folgender Aufgabe: Welches gleichSchenkungen Dreieck hat bei gegebenem Umfang U die größte Fläche? Meine Ideen: Ich hatte als Hauptfunktion Und dann als Nebenfunktion . Wenn ich aber jetzt meine Nebenfunktion nach B umstelle, bekomme ich . Das eingesetzt, ergibt Ich habe aber irgendwie das Gefühl,dass das aber nicht die Funktion sein kann, die ich ableiten soll, oder? Übersehe ich etwas? |
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14.06.2016, 14:17 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Extremwertaufgabe maximaler Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck Du kannst h auch durch c ausdrücken: https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichsche...kligen_Dreiecks Viele Grüße Steffen |
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14.06.2016, 19:52 | TheLastOfUs | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank für die Antwort! Wie kommt denn diese Beziehung zustande? Gibt es da irgendwo eine Erklärung zu? Welche trigonometrische Beziehung wurde dazu denn genutzt? |
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14.06.2016, 19:56 | TheLastOfUs | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ah... wurde vielleicht die Formel des Radius des Umkreises benutzt? |
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14.06.2016, 20:04 | TheLastOfUs | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ach, alles quatsch, was ich erzähle. Meintest du vielleicht ? Aber wie entsteht diese Formel? |
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14.06.2016, 20:14 | TheLastOfUs | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich führe hier schon Selbstgespräche, aber ich glaube, ich habe es herausbekommen. Ich wende einfach den Satz des Pythagoras an. Ich habe ja praktisch und das stelle ich nun nach h um, also: . |
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14.06.2016, 20:25 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bingo. |
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14.06.2016, 20:33 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gut aber wie jetzt weiter? Dann hat man diese Wurzel da in der Formel. Man könnte quadrieren und A^2 maximieren, aber das führt zu großen Potenzen. |
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14.06.2016, 20:39 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aber nein. In diesem Dreieck ist doch a=b, und für b hast Du ja schon einen Ausdruck. |
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14.06.2016, 20:43 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich meinte seine Formel von oben: Wenn man da jetzt für h die Wurzel einsetzt ... |
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14.06.2016, 20:49 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
...und noch berücksichtigt... |
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14.06.2016, 20:53 | TheLastOfUs | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jetzt stecke ich doch schon wieder fest. Meine Zielfunktion ist also . Meine Hilfsfunktion ist . Stelle ich nach c um, bekomme ich . Wenn ich das nun einsetze in meine Formel, bekomme ich . Das vereinfacht, ergibt Und das muss ich nun nach c ableiten, oder nicht? Denn der Flächeninhalt soll ja eigentlich maximal werden? Wenn ich das mache . Und daraus kann ich doch nicht ohne Weiteres Nullstellen bestimmen, oder? |
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14.06.2016, 21:04 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, die Zielfunktion ist . |
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14.06.2016, 21:15 | TheLastOfUs | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jetzt bin ich verwirrt. Meine Funktion ist doch . Wie habe ich denn dann meinen Umfang umgestellt und eingesetzt? |
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14.06.2016, 21:18 | TheLastOfUs | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ah, ich verstehe, nachdem ich bereits eingesetzt habe, ersetze ich h durch meinen Term... Okay, ich versuche mich mal an der Ableitung nach c. |
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14.06.2016, 21:28 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Deine Gleichung ist auch korrekt, sehe ich gerade. Die Nullstellen des letzten Terms sind schnell erledigt, Du musst ja nur den Zähler nullsetzen |
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14.06.2016, 21:34 | TheLastOfUs | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, also leite ich ab zuerst einmal über dieQuotientenregel: , dann die gesamte Funktion über die Produkt- und Kettenregel Aber dann habe ich auch wieder eine Wurzel im Nenner? |
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14.06.2016, 21:48 | TheLastOfUs | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also ich rechne dann wenn ich dann sage und bringe meine Funktion 2. Grades in die Normalform: . Über die p,q-Formel komme ich dann zu . Also bekommen wir . Also wird meine Flächeninhalt für maximal? |
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14.06.2016, 21:50 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau! Das gleichseitige Dreieck hat ja auch die maximale Fläche. Viele Grüße Steffen PS: die pq-Formel hättest Du Dir erspart, wenn Du vorher durch c geteilt hättest... |
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14.06.2016, 22:02 | TheLastOfUs | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen lieben Dank für die gute und geduldige Hilfe! Hättest du vielleicht noch kurz die 5 Minuten Zeit, um mir zu zeigen, wie bei dir die Ableitung von aussehen würde, um dann den maximalen Umfang bestimmen zu können? |
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14.06.2016, 22:07 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist einfach Produkt- und Kettenregel. U und a sind ja Konstanten. Wenn Du's nachprüfen willst, nimm unseren hauseigenen Differenzierer. |
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14.06.2016, 22:15 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es ginge noch einfacher: Ausgehend von: quadriert man: Die 16 lässt man weg, da unwichtig und leitet ab: Daraus folgt dann auch . |
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15.06.2016, 10:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der letzte Beitrag zeigt es: Man hätte sich viel Arbeit ersparen können, wenn die Ansatzfunktion vorher vereinfacht worden wäre. Es gilt also für die Vereinfachung der Ansatzfunktion: - Man kann POSITIVE (!) konstante Faktoren* weglassen, soferne sie die Ansatzfunktion GLOBAL betreffen (ein negatives Vorzeichen bleibt erhalten). - Die Stelle des Extremwertes ändert sich nicht, wenn anstatt der Ansatzfunktion deren QUADRAT betrachtet wird. Dies ist bei Wurzelfunktionen hilfreich. Man verzichtet dabei auf Extremwerte, bei denen die Funktion Null wird** - An Stelle der Ansatzfunktion kann auch deren Kehrwert abgeleitet werden, wenn danach das entgegengesetzte Extremum aufgesucht wird. (*) Eine Vorzeichenänderung ändert auch die Art des Extremwertes (**) Bei der Ableitung der Wurzelfunktion kommt diese in den Nenner eines Bruches Die damit und aus der Nebenbedingung errechneten Extremwerte sind natürlich wieder in die ursprüngliche Funktion einzusetzen. mY+ |
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