Satz von Movire-Laplace

14.06.2016, 17:11

Fruty

Satz von Movire-Laplace

Hallo leute, ich habe mal eine evtl. dumme Frage:

Der satz lautet bei uns wie folgt: Es sei X eine binomialverteilte Zva. und $\begin{eqnarray*} \tilde{X} \end{eqnarray*}$ die standardisierte Zva.

Dann gilt für $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} P(a\leq \tilde{X} \leq b) = \Phi(b)- \Phi(a) \end{eqnarray*}$ .

Demnach sollte der Satz auch für $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ gelten.

Uns wurde gesagt, dass es egal seie ob wir die Stetigkeitskorrektur verwenden oder nicht. Im Falle $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ kann aber nur mit Stetigkeitskorrektur ein Sinnvoller Wert herauskommen.

Ist der Satz dann für $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ überhaupt sinvoll? Ich habe zwei Bsp. berechnet diese kamen doch ganz gut an den orginalwert heran sind aber schlechter als die approximationen des lokalen Grenzwertsatzes.

Mit Stetigkeitskorrektur sehe ich nicht, warum der Satz nicht auch für $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ gelten sollte. Aber ohne macht $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ natürlich keinen sinn, denn man hätte ja immer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

In der Übung haben wir gesagt, dass man diesen immer nur für intervalle benutzt aber die Gleichheit wird im satz ja nicht ausgeschlossen

Mfg. Fruty

14.06.2016, 17:19

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Was deine Fragen rund um die Stetigkeitskorrektur betrifft: Kann es sein, dass du dabei gedanklich nicht zwischen den Verteilungen von $\begin{align*} X \end{align*}$ und $\begin{align*} \bar{X} \end{align*}$ unterscheidest? verwirrt

Solltest du tun, denn das ist hier entscheidend: Die Stetigkeitskorrektur bezieht sich ausschließlich auf die Verteilung von $\begin{align*} X \end{align*}$ , nicht auf die von $\begin{align*} \bar{X} \end{align*}$ . unglücklich

Zitat:

Original von Fruty
Uns wurde gesagt, dass es egal seie ob wir die Stetigkeitskorrektur verwenden oder nicht.

Im Grenzübergang $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ mag es egal sein, die entsprechende Wahrscheinlichkeit konvergiert mit oder ohne eine solche Korrektur. Für die Genauigkeit der Approximation bei Anwendung für endliche $\begin{align*} n \end{align*}$ (und das ist nun mal i.d.R. der Fall) ist es alles andere als egal: Da verschenkt man ohne Stetigkeitskorrektur unnötig viel Genauigkeit.

Und was exotische Fälle wie $\begin{align*} a=b \end{align*}$ bei der Berechnung von $\begin{align*} P(a\leq X\leq b) \end{align*}$ betrifft: Da sollte man direkt mit der Binomialverteilung rechnen, allenfalls zu Vergleichszwecken mal ausrechnen, was bei $\begin{align*} \Phi\left( \frac{a+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)-\Phi\left( \frac{a-\frac{1}{2}-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) \end{align*}$ herauskommt. Augenzwinkern

14.06.2016, 18:05

Fruty

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay vielen dank.

Also ich habe für $\begin{eqnarray*} n=2000 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=1/10 \end{eqnarray*}$ das ganze mal als vergleich nachgerechnet.

Mit der Binomialverteilung hatte ich:

$\begin{eqnarray*} P(X=190)=0.0225 \end{eqnarray*}$

und mithilfe des Satzes von Movire-Laplace (und stetigkeitskorrektur) dann:

$\begin{eqnarray*} 0,0212 \end{eqnarray*}$ .

Der unterschied ist ja nicht besonders groß.

14.06.2016, 18:08

Fruty

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay hatte mich verguckt mit Binomialverteilung wäre das:

0.02293

Neue Frage »

Antworten »

Satz von Movire-Laplace

Verwandte Themen