Existiert das k-te Moment so auch die 1,...,k-1-te Momente

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Shalec Auf diesen Beitrag antworten »
Existiert das k-te Moment so auch die 1,...,k-1-te Momente
Hallo,

ist X eine reellwertige Zufallsvariable und das k-te Moment existiert, existieren dann auch alle vorherigen n-ten Momente für ?

Da das k-te Moment für eine stetige Zufallsvariable über das Integral


für diskrete ZV:


Im diskreten Fall:
Da X reellwertig ist, folgt im falle über dem Majorantenkriterium die Existenz ebenfalls. Für über die Definition der allgemeinen Harmonischen Reihe für . Für k=1 existieren keine vorherigen Momente. Also gilt die Aussage im diskreten Fall.

Im stetigen Fall:
Hier bin ich mir unsicher. Intuitiv hätte ich die Existenz über die partielle Integration begründet. Da verschwindet dieser Ausdruck nach der ersten partiellen Integration. Insgesamt sage ich intuitiv, dass diese Aussage auch im stetigen Fall wahr ist. Per partielle Integration folgt:
. Hier sehe ich, dass wenn das Integrabilitätskriterium erfüllt, das Integral es nicht unbedingt erfüllen muss. Also scheint die partielle Integration an dieser Stelle nicht zu funktionieren.

Wie sähe eine Begründung für den stetigen Fall aus? Welches Argument sichert die Existenz oder verneint die Aussage?

Viele Grüße und vielen Dank
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal muss man folgendes sagen: Existenz heißt, dass endlich ist.

Ich weiß nicht, inwieweit eure Stochastik auf Maßtheorie baut - mit letzterer muss man die Fälle diskret/stetig nicht unterscheiden, sondern kann das gemeinsam behandeln: Es ist dann für

,

im ersten Integral wurde im Integrand simpel abgeschätzt. Damit folgt aus auch .
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zunächst mal muss man folgendes sagen: Existenz heißt, dass endlich ist.

Ja, stimmt. Liefert doch aber auch das riemannsche Integrabilitätskriterium? (Über Ober-/Untersummen und Grenzübergangsbetrachtung)


Zitat:
Original von HAL 9000
Ich weiß nicht, inwieweit eure Stochastik auf Maßtheorie baut

Sagen wir, die Vollfachstudenten sind fit in der Maßtheorie, die Lehramtsstudierenden haben (und werden) keine Definition von Maß oder Inhalt kennen lernen. In der Vorlesung wurde auch ein Maß als solches nicht weiter definiert. Daher denke ich, dass eine Argumentation über die Integrale erlaubt sei, aber nicht jeder könne diese durchführen.

Zitat:
Original von HAL 9000
- mit letzterer muss man die Fälle diskret/stetig nicht unterscheiden, sondern kann das gemeinsam behandeln: Es ist dann für

,

im ersten Integral wurde im Integrand simpel abgeschätzt. Damit folgt aus auch .


Kann ich soweit nachvollziehen. Gibt es aber auch ein Argument ausschließlich für den stetigen Fall? Leider kann man nicht sagen, dass X von X unabhängig ist Big Laugh (dann gäbe es ja eine Regel E(XY)=E(X)E(Y)..)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Im stetigen Fall ersetze einfach durch , außerdem kannst du die Sorgfalt mit den offenen bzw. abgeschlossenen Intervallenden sein lassen, denn die spielt da (im Gegensatz zum allgemeinen Fall) keine Rolle. Augenzwinkern
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