Quadratische Ungleichung |
| 15.06.2016, 17:59 | Prof. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Quadratische Ungleichung Hallo zusammen, ich habe Schwierigkeiten mit einer quadratischen Ungleichung. Alle anderen Aufgaben zu quadrat. Ungleichungen konnte ich lösen, aber bei dieser finde ich meinen Denkfehler einfach nicht. Ich rechne erst einmal eine quadrat. Ungleichung, die ich lösen konnte. So kann ich das Lösungsprinzip aufzeigen, wie ich es bisher verstanden habe (dasselbe Lösungsprinzip führte aber bei der schwierigeren Ungleichung zu einer falschen Lösung, also muß ich irgend etwas an diesem Lösungsprinzip noch nicht richtig verstanden haben). Meine Ideen: Hier die Aufgabe, die bei mir klappte: x^2 -2x -15 > 0 Quadratische Ergänzung zur 2. Binom. Formel: Auf beiden Seiten 1 addieren x^2 -2x -15 +1 > 1 Auf beiden Seiten 15 addieren x^2 -2x +1 > 16 (x ? 1)^2 > 16 Quadratwurzel ziehen. Die Quadratwurzel aus (x ? 1)^2 ergibt den Betrag von (x ? 1), dieser wird zwischen zwei senkrechten Strichen geschrieben: |x ? 1| |x ? 1| > 4 Das bedeutet: Ist der Term (x ? 1) positiv, dann liegt er auf der Zahlengeraden rechts von 4, er ist größer als 4. Ist der Term (x ? 1) aber negativ, dann liegt er auf der Zahlengeraden links von -4, er ist dann kleiner als -4. Als Ungleichungen geschrieben. x ? 1 > 4 oder x ? 1 < -4 Addiert man bei beiden Ungleichungen 1, so erhält man: x > 5 oder x < -3 Ergebnis: x > 5 oder x < -3 Die Lösungsmenge ist die Menge aller reellen Zahlen x, für die gilt: x > 5 oder x < -3 Wenn ich dasselbe Rechenprinzip nun auf folgende Ungleichung anwende, komme ich zu einem falschen Ergebnis. Habe mehrmals nachgerechnet, aber ich finde meinen Fehler nicht. Könnt Ihr mir bitte sagen, wo mein Denkfehler liegt und wie man zu der richtigen Lösung kommt? Das Ergebnis kenne ich, aber nicht den Rechenweg. Bei dieser Ungleichung steht x zunächst im Nenner von 2 Brüchen: 8 / (x ? 3) + 14 / (2 + x) > 6 Als richtiges Ergebnis wird angegeben: Die Lösungsmenge ist die Menge aller reellen Zahlen x, für die gilt: -2 < x < -1/3 oder 3 < x < 5 Hier mein Rechenweg, der leider zum falschen Ergebnis führt: Der Nenner darf nicht 0 werden, deshalb sind folgende zwei x-Werte von der Definitionsmenge auszuschließen: x = 3 und x = -2 . Dies sind die beiden Definitionslücken der zugehörigen Funktion y = 8 / (x ? 3) + 14 / (2 + x) Ungleichung mit dem Hauptnenner (x ? 3)*(2 + x) multiplizieren, dann verschwindet x aus den Nennern: 8*(2 + x) + 14*(x ? 3) > 6*(x ? 3)*(2 + x) 16 + 8*x + 14*x ? 42 > 6*(2*x + x^2 - 6 ? 3*x) 22*x ? 26 > 6*(x^2 ? x ? 6) 22*x ? 26 > 6*x^2 ? 6*x ? 36 0 > 6*x^2 ? 28*x ? 10 Ungleichung durch 6 teilen 0 > x^2 ? (28/6)*x ? 10/6 Quadratische Ergänzung zur 2. Binom. Formel: Auf beiden Seiten (14/6)^2 addieren: (14/6)^2 > x^2 ? (28/6)*x ? 10/6 + (14/6)^2 (14/6)^2 > x^2 ? (28/6)*x + (14/6)^2 ? 10/6 Auf beiden Seiten 10/6 (= 60/36) addieren 14^2/36 + 60/36 > x^2 ? (28/6)*x + (14/6)^2 256/36 > (x ? 14/6)^2 Quadratwurzel ziehen. Auf der rechten Seite erhält man den Betrag von x ? 14/6 16/6 > |x ? 14/6| Das bedeutet: Der Term x ? 14/6 liegt auf der Zahlengeraden links von 16/6 (er ist kleiner als 16/6) und der Term x ? 14/6 liegt rechts von -16/6 (er ist größer als ? 16/6). Als doppelte Ungleichung geschrieben: -16/6 < x ? 14/6 < 16/6 14/6 addieren 14/6 ? 16/6 < x < 16/6 + 14/6 -2/6 < x < 30/6 -1/3 < x < 5 Jetzt muß man noch die beiden Definitionslücken beachten: x = 3 und x = -2 x = -2 liegt außerhalb des von mir berechneten Intervalls -1/3 < x < 5 Also ist hier nur die Definitionslücke x = 3 zu beachten. Ich erhalte also als Ergebnis : Die Lösungsmenge ist die Menge aller reellen Zahlen x, für die gilt: -1/3 < x < 5 wobei x nicht den Wert 3 annehmen darf. Mein Ergebnis ist aber falsch, wie man durch Einsetzen von z.B. 0 für x leicht überprüfen kann. Zwei der von mir berechneten Intervallgrenzen (-1/3 und 5) sind ja richtig, aber ich verstehe nicht, wieso die beiden Definitionslücken (-2 und 3) zugleich auch Intervallgrenzen sind. Liegt mein Problem vielleicht darin, daß in der Aufgabenstellung eine gebrochen rationale Funktion steht, die man eben nicht genauso wie eine quadratische Ungleichung lösen kann? Wenn man den Graphen der Funktion y = 8 / (x ? 3) + 14 / (2 + x ) zeichnet, müßte man doch eine Hyperbel erhalten, oder? Und man könnte diese Ungleichung doch dann auch graphisch lösen, indem man diese Hyperbel in`s Koordinatensystem zeichnet, dann eine Parallele zur x ? Achse im Abstand 6 zeichnet und dann all die x-Intervalle heraus sucht, bei denen die y-Werte kleiner als 6 sind, nicht wahr??? Selbst wenn dieses graphische Lösungsverfahren richtig sein sollte, ich verstehe nicht, wie man diese Aufgabe rechnerisch löst. Viele Grüße |
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| 15.06.2016, 18:14 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könntest du das bitte noch mal edieren, damit die ganzen Fragezeichen wegkommen? Vermutlich Minusse? |
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| 15.06.2016, 18:18 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Quadratische Ungleichung Guten Tag, es gibt sicherlich mehrere Wege, diese Ungleichung zu lösen. Ich würde folgenden Weg nehmen: Den Zähler zusammenfassen (er lässt sich faktorisieren!) und dann die Vorzeichenregel für Bruchterme anwenden. EDIT: .... zu spät! + tschüs 
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| 16.06.2016, 10:23 | Prof. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Quadratische Ungleichung Hallo Bürgi und willyengland, vielen Dank für Eure Antworten! Ja, die ? sollen Minuszeichen sein, das ist mir schon mehrmals passiert, daß beim rüberkopieren Zeichen verändert werden 
Mein Problem bei dieser Aufgabe ist, daß ich meinen Fehler nicht finde, der zum falschen Ergebnis führt. Habe mehrfach gerechnet, Fehler aber nicht gefunden |
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| 16.06.2016, 10:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Problem ist hier:
Du multiplizierst einfach mit ohne zu beachten, dass dieser Term je nach verschiedene Vorzeichen annehmen kann, was Auswirkungen auf das Relationszeichen der Ungleichung hat!!! Insofern ist die zweite Zeile bereits für viele reelle die falsche Umformung - konkret für alle mit . 
Bürgi zeigt, wie es richtig geht: Er vermeidet zunächst die lästige Fallunterscheidung und verschiebt damit die nötigen Umformungen und Faktorisierungen vollständig in den Zähler. Dem Bruch-Endterm kann man dann sehr leicht ansehen, wo er jeweils das Vorzeichen wechselt. |
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| 17.06.2016, 06:28 | Prof. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Dankeschön! Jetzt habe ich es verstanden 
Vielen Dank für Eure Hilfe, das Matheboard ist echt ne tolle Einrichtung 
Viele Grüße
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