Anfangswertproblem

16.06.2016, 09:21

Oggel

Anfangswertproblem

Hallo liebe Community,

zu dieser Aufgabe habe ich eine Frage.
Ich habe ja die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 2 \end{eqnarray*}$ Um das AWP zu lösen benötige ich ja die Eigenvektoren, die ich also Spaltenvektoren für die Matrix A benutze um folgende Formel zu lösen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = A * \begin{pmatrix} e^{\lambda_1}x \\ e^{\lambda_2}x \\ e^{\lambda_3}x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Eigenvektor für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \begin{pmatrix} t \\ 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Mein Eigenvektor für $\begin{eqnarray*} \lambda_2, \lambda_3 = \begin{pmatrix} 2t \\ t\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Da ich einen doppelten Eigenwert habe und damit auch einen doppelten Eigenvektor, muss ich den Vektor 2 mal in die Matrix einsetzen oder nur einmal?

Also wäre meine Matrix A:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t_1 & 2t_2 & 2t_3 \\ 0 & t_2 & t_3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t_1 & 2t_2 & 0 \\ 0 & t_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ihr wisst was ich meine.
Danke für eure Antworten smile

16.06.2016, 09:53

Ehos

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Wie du richtig berechnet hast, gehört zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$ der Eigenvektor

$\begin{eqnarray*} \vec y_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot t_1 \end{eqnarray*}$

Zum doppelten Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_2=\lambda_3=2 \end{eqnarray*}$ gehören zwei verschiedene Eigenvektoren

$\begin{eqnarray*} \vec y_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot t_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec y_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot t_3 \end{eqnarray*}$

Die allgemeine Lösung ist also die Linearkombination

$\begin{eqnarray*} \vec y(t)=t_1\vec y_1+t_2\vec y_2+t_3\vec y_3 \end{eqnarray*}$

Die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} t_1, t_2, t_3 \end{eqnarray*}$ musst du so wählen, dass die Anfangsbedingung stimmt. Das führt auf ein lineares Gleichungssystem für $\begin{eqnarray*} t_1, t_2, t_3 \end{eqnarray*}$ .

16.06.2016, 13:08

Oggel

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Zitat:

Original von Ehos

Zum doppelten Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_2=\lambda_3=2 \end{eqnarray*}$ gehören zwei verschiedene Eigenvektoren

$\begin{eqnarray*} \vec y_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot t_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec y_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot t_3 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf den 2. Eigenvektor? Ich habe ja folgendes Gleichungssystem für die Eigenvektoren:
$\begin{eqnarray*} -x_1+2x_2+3x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1+0x_2+x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1+0x_2+0x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Durch den 2. Eigenvektor wäre die 2. Gleichung doch verletzt oder?

//Edit: Wolfram Alpha gibt mir auch nur zwei Eigenvektoren.

17.06.2016, 10:04

Ehos

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Du hast recht. Ich habe nicht richtig hingeschaut. In der Tat gibt es zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda=2 \end{eqnarray*}$ nur einen Eigenvektor. Man hat für die gegebene 3x3-Matrix also insgesamt nur 2 Eigenvektoren. In diesem Falle ist die Lösung des Differenzialgleichungssystems etwas komplizierter. Unter folgender Internetadresse findest du den Lösungsweg und ein durchgerechnetes Beispiel, das deinem Problem sehr ähnlich ist

www.math.kit.edu/iana3/lehre/hm3etechphy...ia/hm3-zsf9.pdf

Siehe Kapitel 29.3 "Fundamentalsysteme für nicht diagonalisierbare Matrizen"

17.06.2016, 10:16

Oggel

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Puh Okay Danke für deine Antwort. Da ich gerade in der Klausurvorbereitung stecke und ich mich nicht erinnern kann, dass wir sowas in unseren Übungsaufgaben hatten, werde ich das erst einmal hinten anstellen.

Aber danke für den Tipp smile

Wenn ich noch Zeit habe, werde ich mir das anschauen!

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