Steigung Tangente 3D

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16.06.2016, 11:33	Oliver96	Auf diesen Beitrag antworten »
Steigung Tangente 3D Meine Frage: Hallo. Zu bestimmen ist die Steigung der Tangente an $\begin{eqnarray} f(\vec{x}) := x^2 y z + 4 x z^2 \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} \vec{x_0} := \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in den zwei Richtungen $\begin{eqnarray} \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} = -\vec{a} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Da gilt doch auch die Formel für 2D? Sprich: $\begin{eqnarray} y\,=\,f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0}) \end{eqnarray}$ oder? Dann muss ich einfach alles "nur" einsetzen? Danke schon mal, Oli
17.06.2016, 00:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: ~~Kann so nicht gehen~~. --------- Während in "2D" (R2) die Steigung $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ einer Geraden als Tangens des Winkels mit der x-Achse definiert ist, ist dies in "3D" (R3) nicht so. Dort gibt es keine Steigung als solche, sondern nur den Richtungsvektor* der Geraden. In R2 gibt es diesen auch, da lautet er $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . (*) Gerade in R3 ggf. mit den Richtungs-Cosinus (den Winkeln zu den Koordiantenachsen) oder auch den Winkeln zu den Koordinatenebenen. Möglicherweise sind in deiner Aufgabe die Richtungsableitungen gefragt. mY+
18.06.2016, 16:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe meinen Beitrag nochmal überlegt und den ersten Satz gestrichen. Das hängt mit dem Gradienten zusammen. Diesen kannst du mittels der partiellen Ableitungen bestimmen. Deine Formel ist ein Teil der Gleichung der Tangentialebene. Diese enthält zwei durch den Gradienten bestimmte spezielle Richtungsvektoren. Offensichtlich sind in deiner Aufgabe die Richtungsableitungen gefragt. mY+
20.06.2016, 12:14	Oliver96	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steigung Tangente 3D $\begin{eqnarray} grad(f) = \begin{pmatrix} \partial f_x \\ \partial f_y \\ \partial f_z \end{pmatrix} = grad(f) = \begin{pmatrix} 2xyz+4z^2 \\ x^2 z \\ x^2 y +8xz \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also ist doch: $\begin{eqnarray} f(\vec{x_0}) = \begin{pmatrix} -2 \\ 16 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \vec{x_0} := \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also der Gradient gibt mir die Steigung an und die zwei Punkte in dem Gradienten die $\begin{eqnarray} \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} = -\vec{a} \end{eqnarray}$ liefern mir die Richtungsableitung. Was ist jetzt jedoch mit dem Punkt $\begin{eqnarray} \vec{x_0} \end{eqnarray}$ ?? Ich bin mir noch unsicher. Danke mythos, Oli
20.06.2016, 12:37	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Oliver96: Der Begriff "Steigung der Tangente" passt mit deiner Aufgabe nicht zusammen. Ich nehme an, dass folgendes gemein ist: Gegeben ist ein skalares Feld f(x,y,z) im 3-dimensionalen Raum - z.B. räumliche eine Temperaturverteilung. Im Raumpunkt $\begin{eqnarray} \vec x_0=(1\|-2\|1) \end{eqnarray}$ ist die Richtungsableitung in die Richtung $\begin{eqnarray} \vec a=(1\|-2\|1) \end{eqnarray}$ gesucht Dies berechnet man wie folgt $\begin{eqnarray} \text{Richtungsableitung}=\nabla f\cdot \tfrac{\vec a}{\|\vec a\|} \end{eqnarray}$ Berechne diesen Term und setze dort den speziellen Punkt $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ ein.
21.06.2016, 12:56	Oliver96	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \nabla f\cdot \tfrac{\vec a}{\|\vec a\|} = \begin{pmatrix} 2xyz+4z^2 \\ x^2 z \\ x^2 y +8xz \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} \end{eqnarray}$ Und dann genauso mit $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ Und dann jeweils einsetzen: $\begin{eqnarray} \vec{x_0} := \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Danke Ehhos, Oli PS: Der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{a} =\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \end{eqnarray}$ ist so korrekt, hatte ausversehen zwei mal den gleichen genommen
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23.06.2016, 09:51	Oliver96	Auf diesen Beitrag antworten »
Einen schönen guten Morgen, da ich mir noch nicht sicher bin habe ich mal die Aufgabe komplett zu Ende gemacht. $\begin{eqnarray} \nabla f (\vec{x_0})\cdot \tfrac{\vec a}{\|\vec a\|} = \begin{pmatrix} 2xyz+4z^2 \\ x^2 z \\ x^2 y +8xz \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -12 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} \end{eqnarray}$ Wobei ich dann nach dem zweiten Gleichheitszeichen den Vektor $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ eingesetzt habe. Und dann mit $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \nabla f (\vec{x_0})\cdot \tfrac{\vec a}{\|\vec a\|} = \begin{pmatrix} 2xyz+4z^2 \\ x^2 z \\ x^2 y +8xz \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} \end{eqnarray}$ Ich denke und hoffe das stimmt so? Über einen kurzes Feedback würde ich mich freuen, Grüße Oliver
23.06.2016, 10:47	Abakus95	Auf diesen Beitrag antworten »
Weißt du noch wie das Skalarprodukt geht ???
24.06.2016, 13:36	Oliver96	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \nabla f (\vec{x_0})\cdot \tfrac{\vec a}{\|\vec a\|} = ... = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = -\frac{13}{\sqrt{6}} \end{eqnarray}$ Mit eingesetztem Vektor $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ eingesetzt habe. Und dann mit $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \nabla f (\vec{x_0})\cdot \tfrac{\vec b}{\|\vec b\|} = ...= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{13}{\sqrt{6}} \end{eqnarray}$ Ich denke das stimmt jetzt endlich? Aber was sagt mirdas Ergebnis jetzt? Grüße Oliver

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