Primäres Ideal

16.06.2016, 12:43	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Primäres Ideal Hallo allerseits, ich soll die unsymmetrische Definition eines primären Ideals in eine symmetrische umformen. Da mir allerdings nicht eindeutig klar ist, was damit gemeint sein soll, habe ich ein wenig gegoogelt und bin auf einen Eintrag im englischen Wikipedia gestoßen. Nun erstmal meine Definition, dann der Link zur äquivalenten symmetrischen Definition, die ich offenbar nicht richtig verstehe. Anmerkung: Ring = kommutativ mit 1 (I) Ein Ideal $\begin{eqnarray} Q\subsetneq R \end{eqnarray}$ eines Ringes R heißt primär, falls für $\begin{eqnarray} a,b\in R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ab\in Q \ \Rightarrow a\in Q \vee b\in \sqrt{Q} \end{eqnarray}$ (Radikal von Q) gilt. (II) Nun der erste Punkt auf Wikipedia liefert, dass entweder a oder b in Q oder $\begin{eqnarray} a,b\in\sqrt{Q} \end{eqnarray}$ . Wobei letzteres fordert, dass dann beide gleichzeitig in $\begin{eqnarray} \sqrt{Q} \end{eqnarray}$ enthalten sein müssen. Da wir in einem kommutativen Ring arbeiten, lässt sich unsere Definition allerdings dahin umformen, dass $\begin{eqnarray} a\in Q\vee b\in Q \vee a\in \sqrt{Q} \vee b\in \sqrt{Q} \end{eqnarray}$ . Womit die Definition auch wieder symmetrisch ist. Nun bitte ich euch mich aufzuklären. Vermutlich liegt es an einem Übersetzungs-/Interpretationsfehler auf meiner Seite.. Viele Grüße und vielen Dank
16.06.2016, 16:25	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definitionen sind doch Äquivalent. Da $\begin{eqnarray} ab=ba \end{eqnarray}$ in einem kommutativen Ring zusammen mit der Annahme $\begin{eqnarray} a\notin Q, b\in\sqrt{Q}\setminus Q \end{eqnarray}$ folgt, wegen der Kommutativität $\begin{eqnarray} a\in\sqrt{Q} \end{eqnarray}$ . Ist also eines der beiden im Radikal, so müssen beide im Radikal liegen.
17.06.2016, 14:38	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine alternative, griffige Charakterisierung ist: $\begin{eqnarray} Q\trianglelefteq R \end{eqnarray}$ ist genau dann primär, wenn in $\begin{eqnarray} R/Q \end{eqnarray}$ jeder Nullteiler nilpotent ist.

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