Aussagen über den Konvergenzradius R einer Potenzreihe

16.06.2016, 13:57

BadeEnte

Aussagen über den Konvergenzradius R einer Potenzreihe

Was können Sie über den Konvergenzradius R einer Potenzreihe P(z) aussagen, wenn deren Koeffizientenfolge (an)n einer der folgenden Bedingungen genügt?
(a) Es existieren C > 0 und N Elememt N0, so dass fur alle n Elememt N gilt: |an| <= C(n + 1)^N .
(b) Es existieren µ > 0, N Elememt N0 und eine Teilfolge (ank)k von (an)n, so dass für alle
k Elememt N die Ungleichung |ank| >= µ(nk)^-n besteht.
Formulieren Sie jeweils eine Behauptung und beweisen Sie diese! Was ergibt sich in dem
Spezialfall, dass (an)n beschränkt aber keine Nullfolge ist?

16.06.2016, 15:58

HAL 9000

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Beim Lesen der Überschrift war ich schon arg verwundert: Konvergenzradius einer Potenzmenge ? Hat sich im Text dann aber geklärt. Augenzwinkern

Bei a) Es ist $\begin{align*} R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \end{align*}$ , sofern dieser Grenzwert existiert! Und das ist hier der Fall...

Bei b) würde ich die Cauchy-Hadamard-Formel für den Konvergenzradius

$\begin{align*} R = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \end{align*}$

nutzen: Du kannst zwar den $\begin{align*} \limsup \end{align*}$ hier nicht berechnen, da du nur einen Teil der Folgenglieder kennst - du kannst aber damit eine untere Abschätzung für ihn bestimmen, und damit (über den Kehrwert) eine obere Abschätzung für $\begin{align*} R \end{align*}$ .

Dabei interpretiere ich das

Zitat:

Original von BadeEnte
so dass für alle k Elememt N die Ungleichung |ank| >= µ(nk)^-n besteht.

mal als $\begin{align*} \left| a_{n_k} \right| = \mu\cdot n_k^{-n_k} \end{align*}$ , oder? verwirrt

16.06.2016, 16:49

BadeEnte

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oh man ja klar ist hier die Potenzreihe gemeint Big Laugh

DD sorry. Edit (Nick): Ich hab's mal geändert.
Ja nur das der Exponent -N lautet was sinngemäß ja deinem Term entspricht wenn ich das richtig sehe.

Danke dir für die schnelle Antwort ich versuchs mal Big Laugh

16.06.2016, 17:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von BadeEnte
Ja nur das der Exponent -N lautet was sinngemäß ja deinem Term entspricht wenn ich das richtig sehe.

Oh nein, das ist ein eklatanter Unterschied, vor allem in den Auswirkungen. Augenzwinkern

Ok, es geht also um $\begin{align*} \left| a_{n_k} \right| = \mu\cdot n_k^{-N} \end{align*}$ .

16.06.2016, 17:03

BadeEnte

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Was mir noch nicht ganz einleuchtet:

zu (a): Mir war schon bewusst das diese Formel existiert nur verstehe ich nicht wie ich dadurch eine Aussage über R treffen kann. Denn es muss ja irgendwie in der Beziehung zum Betrag von (an) stehen
der hier kleiner gleich seien soll als C*(n+1)^N.

zu (b): Auch die Formel war mir bekannt Big Laugh

nur hier weiß ich nicht wie ich diese untere Abschätzung bestimmen kann.

Entschuldige bitte diese schreckliche Formelschreibweise, bin relativ neu im Forum unterwegs Big Laugh

.
Wäre super wenn du mir noch einen Denkanstoß geben könntest Big Laugh

16.06.2016, 17:10

BadeEnte

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Ja genau so ist es gemeint. Big Laugh