Primideale in Z[sqrt(-5)]

Neue Frage »

Shalec Auf diesen Beitrag antworten »
Primideale in Z[sqrt(-5)]
Hallo,
ich habe eben gelesen: Das Ideal im Ring ist das einzige Primideal, welches die 2 enthält.

Lässt sich diese Aussage für beliebige prime p erweitern? Ich vermute: Ja. Denn die Ringe haben den Index 2. Die Elemente sind in der Form wobei a+b durch p teilbar sind.
(insofern ich nicht falsch liege..).

Ich möchte eine Primärzerlegung von (6) im Ring R finden. Dazu möchte ich die Primideale schneiden, die 2 und 3 enthalten.

Aus andere Vorlesungen weiß ich, dass R der Ganzheitsring im Zahlkörper und damit ein Dedekindring ist. In D'ringen sind Primfaktorisierungen eindeutig. Da 2 und 3 nicht prim sind, suche ich entsprechende Primideale, sodass (6) das Produkt dieser ist.
Ich vermute: .

Könnte mir jemand einen Tipp geben und mir mal meine Fehler aufzeigen? smile

Danke
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin mir nun recht sicher (Beweis noch unvollständig) dass Primideale sind und es gilt

Ich würde gerne für zeigen, dass (der Index von I in R.) Dann hat nur 2 Restklassen und damit ist I maximal. Da R ein Dedekindring ist, und da der Grundring Z ist, auch prim. (hoffe ich...)
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Primideale in Z[sqrt(-5)]
Zitat:
Original von Shalec
Das Ideal im Ring ist das einzige Primideal, welches die 2 enthält.

Lässt sich diese Aussage für beliebige prime p erweitern? Ich vermute: Ja.

Nein, das stimmt nicht. Zwar stimmt, dass über nur liegt, und über liegt nur das Hauptideal , aber über liegen die zwei verschiedenen Primideale und .

Zitat:
Denn die Ringe haben den Index 2.

Von der etwas unüblichen Ausdrucksweise mal abgesehen stimmt auch das nicht, es ist zwar in der Tat , aber . Und es kann sogar sowas wie passieren.

Zitat:
Dann hat nur 2 Restklassen und damit ist I maximal. Da R ein Dedekindring ist, und da der Grundring Z ist, auch prim.

Primideale sind immer maximal, in Dedekindringen gilt die nicht allgemein richtige Umkehrung.

So, um zu faktorisieren, nutzt man aus und faktorisiert diese beiden Ideale einzeln. Dies erledigt man durch Untersuchung von . So entstehen auch die jeweiligen verschiedenen Verhaltensweisen für verschiedene .

Nachtrag: Was ich noch erwähnen wollte, das Primideal über , namentlich , kann unmöglich enthalten, denn sonst wäre ja die auch enthalten und das Ideal wräe der ganze Ring...
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche das mal (hoffentlich richtig) zu interpretieren:

[quote]über 2 liegt nur
heißt soviel, wie ?

Wie kann ich das denn sehen? Ist nicht die Menge aller Linearkombinationen dieser beiden Erzeuger?


Und ?

Dann muss ich hier wohl doch noch mehr Aufmerksamkeit investieren. Das Anschauen der Erzeuger und Folgern der Elemente klappt noch nicht. unglücklich

Ich habe vermutet, dass prim über sind. (für "+" gilt dies wohl für alle p. Bei "-" habe ich noch keine Interpretationen o.ä. angestellt)



Ich habe folgende Faktorisierung erhalten:
(Produkte der Ideale habe ich nach deiner Hilfe in einem anderen Thread berechnet)

Intensiv bewiesen habe ich die Eigenschaft, "prim" oder "primär" zu sein, nicht wirklich. Wäre daran aber weiterhin interessiert. Ich habe folgende Interpretation:

, wegen bin ich davon ausgegangen, dass dies isomorph zu ist. (Da jedes Element darin die Form hat, für (F_p ist ein Körper, da p prim). Dies ist ein Integritätsbereich und somit ein Primideal.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
über 2 liegt nur
heißt soviel, wie ?


Natürlich liegt das Ideal in jedem Ideal, das das Element enthält, insebesondere also die zwei Ideale, die du nennst.
Hier stellt sich nun mal heraus, dass gilt, da ist.

Zitat:
Wie kann ich das denn sehen? Ist nicht die Menge aller Linearkombinationen dieser beiden Erzeuger?


Sicher ist es das.

Zitat:
Und ?

Dann muss ich hier wohl doch noch mehr Aufmerksamkeit investieren. Das Anschauen der Erzeuger und Folgern der Elemente klappt noch nicht. unglücklich


Natürlich ist - zum einen weil die rechte Seite die ja enthält. Zum anderen ist aber auch , sodass das rechte Ideal bereits der ganze Ring ist.

Was du mit "Anschauen der Erzeuger und Folgern der Elemente" meinst, kann ich bestenfalls erahnen... verwirrt

Zitat:
Ich habe vermutet, dass prim über sind. (für "+" gilt dies wohl für alle p. Bei "-" habe ich noch keine Interpretationen o.ä. angestellt)


Das ist falsch, wie man an oben sehen kann.

Zitat:
Ich habe folgende Faktorisierung erhalten:
(Produkte der Ideale habe ich nach deiner Hilfe in einem anderen Thread berechnet)

1) Das würde ich als schreiben, deine ersten zwei Ideale sind ja gleich.
2) Deine Rechnung (, ) kann ich nicht direkt nachvollziehen, bei der Produktbildung entstehen ja erstmal auch noch Elemente wie , aber das Ergebnis stimmt schlussendlich trotzdem.

Zitat:
Intensiv bewiesen habe ich die Eigenschaft, "prim" oder "primär" zu sein, nicht wirklich. Wäre daran aber weiterhin interessiert. Ich habe folgende Interpretation:

, wegen bin ich davon ausgegangen, dass dies isomorph zu ist. (Da jedes Element darin die Form hat, für (F_p ist ein Körper, da p prim). Dies ist ein Integritätsbereich und somit ein Primideal.

Hier wird es ein bisschen wild, denn:
1) Dieser Quotientenring kann unmöglich isomorph zu sein (Charakteristik).
2) Was der Quotient ist, hängt davon ab, was ist.

Allgemeine Anmerkungen
1) Du hattest noch gefragt, wie man das sehe. Hier mal zwei Beispiele, um das ganz zu illustrieren:
Wir suchen die Primideale über und schauen uns dazu den Quotienten an:

Das sagt mir nun nach dem Homomorphiesatz, dass über der in unserem Ring zwei Primideale liegen, namentlich und und natürlich ist das auch eine Faktorisierung von in Primideale. (Anwendung des chinesischen Restsatzes in dieser Rechnung sollte dir klar sein).
Um dir aber so ein bisschen diese Illusion zu nehmen, dass jedes Primideal über einer ganzen Primzahl von der Form ist, faktorisieren wir noch (das war in einem ersten Beitrag ein Wink mit dem Zaunpfahl):
,
aber ist irreduzibel über ist, ist selbst ein Primideal. ist wieder der gesamte Ring.

2) Du machst hier streckenweise auf mich den Eindruck, als ob dir einige Grundlagen fehlen würden. In welchem Kontext bist du auf diese Aufgabe gestoßen?
Allgemein kannst du dich über dieses Thema zum Beispiel in den Paragraphen 8 und 9 des ersten Kapitels von
Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Spiringer-Verlag
informieren.
Ggf. könnte das aber auch etwas zu kompliziert für dich und deine aktuellen Bedürfnisse sein. Daher die Frage, wie/wo du auf diese Aufgabe gestoßen bist.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich belege grade einen Kurs "kommutative Algebra". Aber kurz zur Vorgeschichte:
Ich habe LinA(1+2) und Algebra in meinen ersten beiden Semestern in 2010 gehört. Dort wurden Ringe bestenfalls umrissen. Nun belegte ich an einer anderen Uni, dank eines Kooperationsvertrages, zwei Kurse: "Einführung in die Zahlentheorie und Computeralgebra" (Bewertungsringe, Dedekindringe, Gebrochene Ideale) und die "Algorithmische Zahlentheorie". Dort wurde ein tieferes Verständnis über Ringe (und vor allem Körpererweiterungen) vorausgesetzt. Ich habe versucht anhand einer frei gewählten Literatur die Ringtheorie im Allgemeinen und die Vorlesungsinhalte nachzuvollziehen. Leider waren in meinen Büchern Ideale immer nur so am Rande betrachtet und selten damit gearbeitet worden. (Liegt aber vermutlich auch daran, dass ich mich mehr auf die algebraische Zahlentheorie gestützt hatte.)
Im Zuge dessen habe ich mir u.A. das Buch "A Course in Computational Algebraic Number Theory" von Henri Cohen und das von Schulze-Pillot: "Einführung in die Algebra und Zahlentheorie" geholt. Mir der Zeit zur Nacharbeit war das so eine Sache. Ich war zu dem Zeitpunkt selbstständig und musste Aufträge abarbeiten, um mein weiteres Studium zu finanzieren. (Dies ist übrigens die letzte Vorlesung in meinem Studium, mein Schwerpunkt liegt auf der mathematischen Kryptologie und Anwendung, Algebra Vorlesungen hatte ich nur die oben notierten. Mehr hat meine Uni nicht angeboten.)


In dem Kurs "Kommutative Algebra" haben wir nun ganze Elemente, sowie den ganzen Abschluss definiert. Ein Skript, was in etwa die gesamte Vorlesung abdeckt, ist dieses: Gathmann, commutative algebra

Insgesamt arbeite ich jetzt zum ersten Mal mit Idealen und muss auch zum ersten Mal Quotientenringe interpretieren (ohne eine wirklich saubere Definition bekommen zu haben.) Größtenteils stütze ich mich da dann doch noch auf Wikipediaeinträge.


Zitat:
Dieser Quotientenring kann unmöglich isomorph zu sein (Charakteristik).

Mir war auch am Abend noch aufgefallen, dass meine Betrachtung falsch war, es kann nicht isomorph zu sein. (An die Charakteristik habe ich hierbei gar nicht gedacht..)

Was bedeutet die Redewendung "über der (3) liegen die Primideale.."?


Zitat:

Wir suchen die Primideale über und schauen uns dazu den Quotienten an:


Dein Beispiel zur (3) kann ich nachvollziehen. Auch die Faktorisierung. Der chinesische Restsatz liefert die direkte Summe. Durch diese Rechnung habe ich erst gesehen, wie man an sowas ran gehen kann. Ich konnte auch die Folgerung sehen, warum es ausgerechnet diese beiden Primideale sind.

(Frage am Rande: Ist eine feste Bezeichnung eines Körpers mit p Elementen? Gemäß GF(p)? )

Zitat:

faktorisieren wir noch (das war in einem ersten Beitrag ein Wink mit dem Zaunpfahl):

Das hatte ich auch so verstanden Big Laugh

Zitat:

,
aber ist irreduzibel über ist, ist selbst ein Primideal. ist wieder der gesamte Ring.

Das kann ich noch nicht ganz nachvollziehen. Ich kenne den Satz "Ideal prim Integritätsbereich". Da irreduzibel ist und ein Int'bereich, ist das Ideal auch prim und somit der Quotient ein Int'bereich. (Hier muss ich ehrlich sagen: Ich bin mir nicht sicher, dass ein Int'bereich ist. Es macht für mich aber Sinn. Lässt sich aber mit Sicherheit leicht überprüfen.)
Insofern das korrekt ist, sehe ich nun, dass (11) prim ist.
Den Schluss sehe ich noch nicht. Vermutlich liegt es daran, dass (11) prim und somit maximal ist und aus der Definition (maximales Ideal) folgt, dass entweder gelten muss, dass oder . Ersteres gilt nicht, folglich muss es R sein.


Gibt es ein Vorgehen/Algorithmus, um sich solche Problemstellen herzuleiten? Ich hätte jetzt nicht gesehen, dass (11) zum Beispiel einen Widerspruch erzeugt.

Vielen Dank für die Mühe, die du dir mit mir gibst :-)
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, mal ungefähr der Reihe nach.

0) Ok, das klingt aber vom Vorwissen her erstmal ganz solide.

1) "Über zu liegen" bedeutet nichts anderes als: wir schauen uns die Primideale an, die die Primzahl enthalten, demnach im Sinne der mengentheoretischen Inklusion größer sind und somit - wenn man so will - über liegen. Es ist ja oft so, dass man bei in einander enthaltenen algebraischen Strukturen ein Diagramm malt und die größte Struktur oben hinmalt.

2) Mit Quotientenringen umgehen zu können ist auf dem Niveau, wo wir uns hier bewegen, ein absolutes Muss. Glücklicherweise werden einige wichtige Dinge in dem von dir verlinkten Skript nochmal erklärt. Worauf ich mich die ganze Zeit stütze, ist Lemma 1.21 in dem Skript von Gathmann: Die Ideale zwischen und stehen in Bijektion zu den Idealen in .

3) Ja, ist eine recht verbreitete Schreibweise für den eindeutigen Körper mit Elementen, ist eine weitere.

4) Also erstmal hast du ein dickes Defizit: Dass Polynomringe in einer Variablen über Körpern Hauptidealbereiche (ja sogar euklidisch) sind, lernt man eigentlich schon in der LA1. Aber ja, ist ein Hauptidealbereich, ist ein Körper mit Elementen, demnach ist sogar maximal (alternativ: ist prim, also maximal da Dedekind). Genau daher hat man auch nur die zwei Möglichkeiten und . Welche der beiden Möglichkeiten eintritt, muss man sich halt überlegen.

5)
Zitat:

Gibt es ein Vorgehen/Algorithmus, um sich solche Problemstellen herzuleiten? Ich hätte jetzt nicht gesehen, dass (11) zum Beispiel einen Widerspruch erzeugt.


Ich bin mir nicht ganz sicher, was du hiermit meinst, vielleicht willst du es näher erläutern. Aber, falls du das meinst, was ich denke, dann: Man kann sicherlich die Primzahlen danach klassifizieren, welches Verhalten die Ideale beim Übergang von zum Ganzheitsring von aufweisen.
Es gibt drei Möglichkeiten:
a) ist prim. Beispiel hier: .
b) , das Produkt zweier verschiedener Primideale, Beispiel hier
c) ist das Quadrat eines Primideals, Beispiele hier - weitere gibt es nicht.
Mit genug Muße kann man das jetzt für für alle Primzahlen ausarbeiten. Für habe ich es im Kopf:
ist verzweigt, d.h. wie in Fall c), alle Primzahlen die kongruent zu 1 modulo 4 sind, sind zerlegt, also wie in b) und alle, die 3 modulo 4 sind, sind träge, d.h. wie in a).
Das kannst du alles im Neukirch nachlesen, das würde hier wohl etwas zu weit führen.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich habe mir mal eben das Buch aus deiner Empfehlung bestellt.

Zu 4.) Polynome/Polynomringe haben wir in LA nicht betrachtet oder nur am Rande kurz eingeführt, aber nie viel damit gerechnet. Irgendwann kam dann eine Aussage, dass Polynome auch als Vektoren oder Matrizen betrachtet werden können, (das war sogar noch in der selben Vorlesung), ab da an waren sie dann nicht mehr erwähnt. (Ich habe meine Notizen noch hier und konnte nachschlagen.)
Mit Matrizen haben wir sehr sehr viel gemacht. Über diverse Normalformen (Jordan, Hermit, allgemeine Trigonalisier-/Diagonalisierbarkeit) bishin zu Zerlegungen (LR, Cholesky und co.) Dazu kamen dann noch Bilinearformen und ganz am ende die Multilinearformen und entsprechend Definitionen von Operationen auf Matrizen, wie z.B. den Gaußalgorithmus, die Determinante und Spur und das Tensorprodukt. LinA1 führte kurz Grundlagen ein: Bijektionen, Morphismen, Vektorraum, Gruppen, Mengentheorie, Skalarprodukte, Inne- und Äußere Verknüpfungen,...

Rückblickend scheinen mir die enthaltenen Inhalte mit der Literatur nicht unbedingt konform zu sein. Aber Polynome sind mir i.A. auch nur aus dem Wikipediaeintrag und in der Verwendung über affinen Räumen in Form von elliptischen Kurven, sowie aus der Kryptographie bekannt. Aussagen über Polynomringe und co. habe ich in dieser Vorlesung zum ersten Mal präsentiert bekommen. Aber ich sehe ja selbst, dass ich einige Defizite habe. Aber ich bin dabei, diese zu bereinigen, um eine saubere Masterarbeit verfassen zu können. (Wofür ich übrigens auch seit 2 Jahren einen Dozenten für die mathematische Kryptologie suche und vermutlich kurz vor einer Lösung stehe..)



Zu 5)
Also ich habe ja eine recht allgemeine Aussage getroffen, dass immer prim ist. Dies haben wir ja widerlegt. Meine Frage nach dem Algorithmus zielt dahin ab, dass ich gerne (notfalls maschinell) überprüfen möchte, ob diese Aussage für endlich viele Primzahlen wahr ist, ohne viel Zeit investieren zu müssen.

Dazu würde z.B. ein Algorithmus helfen, der mir alle Primideale in diesem Ring generieren würde. Nun habe ich aber auch ein paar Kenntnisse in Sage und habe dort gesehen, dass solche Algorithmen für diesen Körper noch nicht implementiert sind. Also liegt es nahe, dass es hier noch keine effiziente Methode gibt.
Dein Vorschlag sagt mir nun, dass ich erst prüfen sollte, ob dieses p bereits ein Primideal erzeugt. Falls nicht, kann ich es als Produkt zweier (nicht notwendigerweise verschiedener) Primideale (wobei ich festgestellt habe, dass die Zerlegung in Primideale nicht in jedem Ring klappt, dafür aber Primärideale) darstellen.

Verzweigungen und Trägheiten kenne ich auch noch (ein wenig) aus dem Computeralgebra Kurs.

Ich werde mich aber hiermit erstmal im Neukirch weiter befassen und hoffentlich meine Defizite ausbessern. :-)

Danke nochmal
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shalec
Hallo,
ich habe mir mal eben das Buch aus deiner Empfehlung bestellt.

EDIT: Das wäre nun nicht unbedingt nötig gewesen, ist ja auch nicht ganz billig und den größten Teil des Buchs wirst du wahrscheinlich auch nicht brauchen. Versteh mich nicht falsch, es ist ein großartig geschriebenes Buch, aber m.E. reicht für die Themen, die wir hier besprochen haben, eine Eingabe von "Skript Algebraische Zahlentheorie" bei Google. Die ersten 4-5 Treffer sehen ganz brauchbar aus. Das wäre eine gangbare Alternative, falls du online bestellt hast und stornieren kannst (und willst). Augenzwinkern

Zitat:
Zu 4.) Polynome/Polynomringe haben wir in LA nicht betrachtet oder nur am Rande kurz eingeführt, aber nie viel damit gerechnet. [...]


Ich hatte an sowas wie Projektionen auf Haupträume gedacht, das kann man mit Hilfe des ggT im Polynomring über dem entsprechenden Körper ausrechnen. Aber wie auch immer...

Zitat:
Zu 5)
Also ich habe ja eine recht allgemeine Aussage getroffen, dass immer prim ist. Dies haben wir ja widerlegt. Meine Frage nach dem Algorithmus zielt dahin ab, dass ich gerne (notfalls maschinell) überprüfen möchte, ob diese Aussage für endlich viele Primzahlen wahr ist, ohne viel Zeit investieren zu müssen.


Sobald du ein bisschen über algebraische Zahlentheorie weißt, wird dir klar sein, dass die Norm eines Primideals eine Primpotenz sein muss. Nun gilt
,
und das linke Ideal hat Norm . Deine Aussage stimmt also nur für .

Zitat:
Dazu würde z.B. ein Algorithmus helfen, der mir alle Primideale in diesem Ring generieren würde. Nun habe ich aber auch ein paar Kenntnisse in Sage und habe dort gesehen, dass solche Algorithmen für diesen Körper noch nicht implementiert sind. Also liegt es nahe, dass es hier noch keine effiziente Methode gibt.

Alle Primideale aufzulisten wird schwierig, es gibt ja unendlich viele.
In Magma kannst du aber ganz gut damuit herumspielen, in kleinen Beispielen mit der Online-Version kostenlos. Hier: http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/
Zum Beispiel:
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
K<w>:=QuadraticField(-5);
R:=Integers(K);
for p in [2,3,5,7,11,13,17,19] do
 IsPrime( ideal<R|[p,1+w]> );
end for;


oder
code:
1:
2:
Factorization(ideal<R|[6]>);

Hier ist das Handbuch: http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/

Falls es dich noch interessiert: In sind und verzweigt, träge sind die Primzahlen und zerlegt sind die Primzahlen . Augenzwinkern
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

So teuer war das Buch garnicht. Ich habe ca. 30€ dafür bezahlt. (Da ich recht viel Arbeite und auch Selbstständig bin, macht mir das nicht viel aus. Dafür muss ich manchmal 30min Arbeiten. )
Ich interessiere mich aber auch für diese Richtung der Zahlentheorie. Sobald mein Studium beendet ist, kann ich mich auch endlich mit solchen interessanten Themen befassen.

Ich erinnere mich auch vage an eine Definition der Norm aus der algorithmischen Zahlentheorie. Mit Magma durfte ich auch bereits erste Erfahrungen sammeln. Zum Glück bietet die Cloud von sagemath eine Magma Ausführung kostenfrei an. Damit kann ich dann auch ein wenig rumexperimentieren. Danke für den Code. Sieht aber so aus, als könnte das auch in Sage implementiert sein. Ich habe nur nicht richtiges für quadratische Zahlkörper gefunden und konnte eben nur mittels ZZ[sqrt(-5)] den Ring erzeugen. Darin kann ich dann Ideale faktorisieren. Nur leider hat das für diesen Dedekindring nicht geklappt (mit genannter Errormeldung).

Leider gibt es für Magma nicht so viele Dokumentationen, wie für Sage. (Liegt vermutlich nicht zuletzt an den Kosten der Einzellizenz. Big Laugh

Vielen Dank für den Beistand. Ich bin der Meinung, dass ich das Thema nun ein wenig besser verstanden habe und nun auch weiß, woran ich noch (jedenfalls lokal) arbeiten muss.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »