Differentialgleichung lösen - Trennung der Variablen

16.06.2016, 18:32	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung lösen - Trennung der Variablen Hi, ich versuche gerade die DGL im Anhang zu lösen. Irgendwie schaffe ich es nicht den Bruch auf der linken Seite zu integrieren. Welches Verfahren ist denn hier zielführend? Partielle Integration habe ich schon versucht, das hilft nicht weiter. Kann man hier Integration durch Substitution machen? Falls ja wie würde das gehen? Danke!
16.06.2016, 20:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \int \frac{g'(t)}{g(t)} ~ \dd t = c + \ln \left( g(t) \right) \end{align}$ Man bestätigt diese Regel sofort, indem man die rechte Seite differenziert.
17.06.2016, 14:09	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Tip! Die erste Integration sollte ich denke ich haben. Nun soll ich das ganze aber nochmal integrieren um auf phi(t) zu kommen. Wie kann ich denn () integrieren? (Vgl. Anhang) Ich habe es mal mit Substitution versucht, aber damit komme ich auf ein scheinbar auch nicht einfacheren Term (*)? Hast du mir noch einen Tip?
19.06.2016, 17:21	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Anyone??
19.06.2016, 17:54	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, gegeben ist die DGL: $\begin{eqnarray} \phi''(t)+\frac{d-1}{t}\phi'(t)=0 \end{eqnarray}$ Als Trick, multipliziere die DGL mit $\begin{eqnarray} t^2 \end{eqnarray}$ dann erhälst du: $\begin{eqnarray} t^2\phi''(t)+(d-1)t\phi'(t)=0 \end{eqnarray}$ Hier hast du nun eine Cauchy Euler Differentialgleichung vorliegen. Das heißt, du machst den Polynomansatz: $\begin{eqnarray} \phi(t)=t^m \end{eqnarray}$ . Nach dem einsetzen erhälst du eine quadratische Gleichung und löst diese. Danach kannst du ganz bequem die Lösung der Differentialgleichung als Polynomfunktion angeben.
19.06.2016, 18:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ amateurphysiker Ganz zu Anfang hast du schon einen Vorzeichenfehler. Richtig ist $\begin{align} \frac{\varphi''(t)}{\varphi'(t)} = \frac{1-d}{t} \end{align}$ Daraus folgt (mit $\begin{align} c_1 \end{align}$ konstant): $\begin{align} \ln \, \left\| \varphi'(t) \right\| \ = \ c_1 + (1-d) \ln t \end{align}$ Exponenzieren zur Basis $\begin{align} \operatorname{e} \end{align}$ und $\begin{align} c_2 = \pm \operatorname{e}^{c_1} \end{align}$ ergibt: $\begin{align} \varphi'(t) = c_2 \cdot t^{1-d} \end{align}$
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