Extrema mit Nebenbedingung

17.06.2016, 11:09

Oggel

Extrema mit Nebenbedingung

Hallo liebe Community,

ich brauche bei folgender Aufgabe mal Hilfe.
Meine Lösung bisher:

Ich habe erst einmal die partiellen Ableitungen bestimmt:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} = 3y-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} = 3x-2y \end{eqnarray*}$

Damit habe ich den Gradient: $\begin{eqnarray*} \nabla f (3y-2x , 3x-2y) \end{eqnarray*}$
Jetzt habe ich den Gradienten 0 gesetzt um zu prüfen wo Extrempunkte sein könnten:

$\begin{eqnarray*} -2x+3y = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x-2y = 0 \end{eqnarray*}$

Hier habe ich nur den Punkt $\begin{eqnarray*} x=y=0 \end{eqnarray*}$ gefunden. Dann habe ich die 2. Ableitung jeweils gebildet:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x \partial x} = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x \partial y} = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y \partial x} = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y \partial y} = -2 \end{eqnarray*}$

Damit habe ich die Hesse Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 3 & -2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Dann habe ich die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 1, \lambda_2 = -5 \end{eqnarray*}$ ausgerechnet.
Damit ist die Matrix indefinit und hat bei $\begin{eqnarray*} x=y=0 \end{eqnarray*}$ einen Sattelpunkt.

Wäre der Weg bis hier korrekt?
Im nächsten Schritt wollte ich mit der Nebenbedingung weiter rechnen, um den Rand zu untersuchen (mit dem Lagrange Multiplikator). Wollte erst einmal prüfen, ob mein bisheriger Weg richtig ist?

Danke für eure Antworten smile

17.06.2016, 12:23

Ehos

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Hier empfiehlt es sich, Polarkoordinaten zu benutzen:

$\begin{eqnarray*} x=R\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=R\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die Zielfunktion liefert

$\begin{eqnarray*} f(R,\phi)=-R^2+3R^2\underbrace{\cos(\phi)\sin(\phi)}_{\tfrac{1}{2}\sin(2\phi)}=-R^2\cdot [1-1,5\sin(2\phi)] \end{eqnarray*}$

Die Randbedingung ist die Kreisfläche $\begin{eqnarray*} R\leq 1 \end{eqnarray*}$ . Es ist anschaulich klar, dass die Extrema auf dem Kreisumfang R=1 liegen müssen. Du musst nur noch berechnen, bei welchem $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ diese Extrema liegen. Setze also R=1 und löse die Gleichung $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial f}{\partial \phi}=0 \end{eqnarray*}$ .

17.06.2016, 12:39

Oggel

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Mhh.
War mein bisheriger Rechenweg richtig?
So wie du das gemacht hast, hatten wir das nie gemacht, deswegen komme ich da nicht ganz mit Big Laugh

wollte das eigentlich mit Lagrange machen.

17.06.2016, 13:16

Ehos

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In der Tat liegt bei (x,y)=(0;0) ein Sattelpunkt. Die Extrema, welche auf dem Kreisumfang R=1 liegen, bekommst du mit der Methode des Lagrangeschen Multiplikators $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Dazu musst du anstelle der alten Zielfunktion f(x,y) folgende erweiterte Zielfunktion $\begin{eqnarray*} \tilde f(x,y,\lambda) \end{eqnarray*}$ betrachten, die von den 3 Variablen $\begin{eqnarray*} x,y, \lambda \end{eqnarray*}$ abhängt:

$\begin{eqnarray*} \tilde f(x,y,\lambda) =-x^2+3xy-y^2+\underbrace{\lambda\cdot (x^2+y^2-1)}_{\text{neuer Summand}} \end{eqnarray*}$

Nun setzt man wie immer die Ableitungen nach den 3 Variablen $\begin{eqnarray*} x,y, \lambda \end{eqnarray*}$ gleich Null.
-------------------------------------------------------
Bei dieser Aufgabe ist es aber viel einfacher, mit Polarkoordinaten zu rechnen. Dann spart man sich den "Lagrangeschen Multiplikator" und kann alles auf den 1-dimensionalen Fall zurückführen, den man aus der Schule kennt

17.06.2016, 13:56

Oggel

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Zitat:

Original von Ehos
Bei dieser Aufgabe ist es aber viel einfacher, mit Polarkoordinaten zu rechnen. Dann spart man sich den "Lagrangeschen Multiplikator" und kann alles auf den 1-dimensionalen Fall zurückführen, den man aus der Schule kennt

Okay Gut zu wissen. Aber möchte die Aufgabe hauptsächtlich auch zur Übung machen, wegen dem Lagrange Multiplikator.

Hab mal weiter gemacht und die Lagrange Funktion 3 mal abgeleitet:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial x} = -2x+3y+2 \lambda x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial y} = 3x -2y + 2 \lambda y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2+y^2-1 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die 1. und 2. Gleichung 0 gesetzt und nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ aufgelöst also:
$\begin{eqnarray*} -2x+3y+2 \lambda x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = 1- \frac{3y}{2x} \end{eqnarray*}$

und:

$\begin{eqnarray*} 3x-2y+2 \lambda y = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = 1- \frac{3x}{2y} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die beiden Ergebnisse von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gleichgesetzt und kam auf:
$\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$

Und das dann in die 3. Gleichung eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Und dann habe ich für $\begin{eqnarray*} x=y=\frac{1}{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=y=- \frac{1}{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?
Woher weiß ich jetzt welches das Maximum und welches das Minimum ist?

20.06.2016, 14:47

Oggel

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push.
Habe ich richtig gerechnet?

Müsste natürlich noch prüfen, falls $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y = 0 \end{eqnarray*}$ oder?
Also für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} y^2 = 1 \Leftrightarrow y = \pm 1 \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} y = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \pm 1 \end{eqnarray*}$

20.06.2016, 15:40

HAL 9000

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Auch wenn der Weg abgelehnt wurde, noch eine kleine Anmerkung:

Zitat:

Original von Ehos
$\begin{eqnarray*} f(R,\phi)=-R^2+3R^2\underbrace{\cos(\phi)\sin(\phi)}_{\tfrac{1}{2}\sin(2\phi)}=-R^2\cdot [1-1,5\sin(2\phi)] \end{eqnarray*}$

Die Randbedingung ist die Kreisfläche $\begin{eqnarray*} R\leq 1 \end{eqnarray*}$ . Es ist anschaulich klar, dass die Extrema auf dem Kreisumfang R=1 liegen müssen. Du musst nur noch berechnen, bei welchem $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ diese Extrema liegen.

Und dazu braucht man keinerlei Differentialrechnung, sofern man den Verlauf der Sinusfunktion kennt. Augenzwinkern

20.06.2016, 17:10

klauss

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Noch eine kleine Anmerkung, die ich ursprünglich nicht gepostet habe, da Ehos 2 Minuten früher dran war:
Um sowohl Lagrange als auch Polarkoordinaten zu vermeiden, ließe sich die Nebenbedingung für den Kreisrand
$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}=1 \end{eqnarray*}$
auch unter Beachtung der entsprechenden Fallunterscheidungen (wahlweise) nach x oder y auflösen und dann in $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einsetzen, so dass man eine Funktion mit 1 Variablen erhält, bei der die Kandidaten für Min/Max wieder mit herkömmlichen Schul-Methoden berechnet werden können.

Zitat:

Woher weiß ich jetzt welches das Maximum und welches das Minimum ist?

Für alle Kandidaten von (x,y) f(x,y) berechnen und vergleichen.

20.06.2016, 19:20

Oggel

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Danke euch für eure Tipps/Anmerkungen.

Leider weiß ich noch nicht, ob ich richtig gerechnet habe? Big Laugh

23.06.2016, 11:00

Musican

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Wie hart ich deine Threads immer verfolge weil wir das selbe brauchen Big Laugh

Wenn du mal Ergebnisse vergleichen möchtest meld dich einfach. Wir haben das Wiederholungsblatt fast durch und in die Musterlösung wird man Freitag nicht schauen dürfen...

Ps: dein bisheriger rechenweg ist korrekt. Fehlt jetzt nurnoch die punkte auf dem kreisrand zu betrachten

23.06.2016, 18:33

Oggel

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Haha

Ja mach ich aber werde dieses Wochenende wahrscheinlich wenig Zeit haben.

Aber den Rand habe ich doch schon betrachtet mit dem Lagrange Multiplikator:
Habe als Ergebnis raus:
$\begin{eqnarray*} x = y = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}, x,y \neq 0 \end{eqnarray*}$

Und für $\begin{eqnarray*} x = 0, y = \pm 1 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} y = 0, x = \pm 1 \end{eqnarray*}$

oder ?

23.06.2016, 20:19

Musican

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Das sieht soweit richtig aus, nur dass wirs so gemacht haben, dass Lambda drin geblieben ist, dann haben wir die Hessematrix ganz normal aufgestellt von der Lagrange funktion. Da kam eine 2x2 Matrix raus, weil wir wie gewöhnlich
erst xx, xy, dann yx und yy abgeleitet haben.
Die sind in Abhängigkeit von Lambda. Da wir zu jedem potenziellen Extrempunkt einen Lagrange multiplikator haben haben wir halt in unserem Fall 4 verschiedene Hessematrizen rausbekommen. Für jeden Punkt eine ^^

23.06.2016, 20:40

Oggel

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Ich habe die Punkte einfach in die Funktion eingesetzt um zu gucken, welches Max bzw. Minimum ist.

Ich bin mir nicht sicher, aber die Extrempunkte dürfen glaube ich nicht von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ abhängen. Das muss doch eigentlich eliminiert werden.

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