Noch ein Integralproblem

27.08.2004, 17:10

rafi

Noch ein Integralproblem

Hallo zusammen,

ich habe noch so ein Problem, wieder mit Integralen, das ich nicht lösen kann. Könnt ihr mir nochmals helfen bitte.

das ganze beginnt so:

dr/r = dy/y + $\begin{eqnarray*} \frac{(ay^{c-1})dy}{(1-ay^c)} \end{eqnarray*}$

danach nimmt man das Integral, den ersten und zweiten Block habe ich noch hingekriegt:

ln r = ln y + ..... aber der dritte ist zu kompliziert.

Mein Professor machte:

$\begin{eqnarray*} ln r = ln y - \frac{1}{c}ln(1 - ay^{c}) + \frac{1}{p}ln b \end{eqnarray*}$

Eine Idee die ich hatte war, das ich dy/(1 - ay^{c}) integriert habe, das gäbe dann diesen Teil:

ln(1 - ay^{c})

Kann das stimmen? Aber was ich nicht begreife, was soll der letzte Term sein, 1/p ln b , soll das die Konstante sein? Warscheinlich schon.

Am Schluss kommt mein Professor auf:

$\begin{eqnarray*} r = y (1 - ay^{c})^{\frac{-1}{c}} b^{\frac{1}{c}} \end{eqnarray*}$

Da bin ich dann vollends verloren. Da komme ich überhaupt nicht mehr mit.

Kann mir da jemand helfen?

Ich wäre sehr dankbar.

Gruss rafi

27.08.2004, 18:29

mathemaduenn

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Hallo rafi,
Das Integral kann durch Substitution gelöst werden.
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{ay^{c-1}}{1-ay^c}~dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u=1-ay^c \ , \ \frac{du}{dy}=-c*ay^{c-1} \end{eqnarray*}$
Substitutionsregel
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{ay^{c-1}}{1-ay^c}~dy=\int~\frac{-1}{cu} ~du \end{eqnarray*}$
Die Lösung sieht übrigens so aus als würde da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{c}\ln b \end{eqnarray*}$ stehen.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
EDit: Vorzeichenfehler berichtigt.

28.08.2004, 00:28

Harry Done

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Hallo mathemaduenn,

bist du sicher, dass das Vorzeichen bei dy korrekt ist?

Gruß Jan

28.08.2004, 12:17

mathemaduenn

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Hallo Jan,
Haste Recht und sicher bin ich mir nie Augenzwinkern

gruß
mathemaduenn

29.08.2004, 18:17

rafi

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hallo mathemaduenn,

den ersten Teil habe ich begriffen, du definierst u und differenzierst es.
Soweit so gut. Aber dann, die Suvstitutionsregel lautet ja:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~f(x)~dx = \int_{}^{}~f(x(u))x'(u)~du \end{eqnarray*}$

f(x(u)) ist gleich : $\begin{eqnarray*} \frac{ay^{c-1}}{u} \end{eqnarray*}$

Wie hast du das mit der Substitutionsregel gemacht?

Und wie kann man nachher $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{-1}{cu}~du \end{eqnarray*}$ integrieren?

Tut mir leid, aber Integrale waren nie so besonders meine Stärke.

Gruss rafi

29.08.2004, 20:51

mathemaduenn

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Hallo rafi,

Zitat:

Original von rafi
f(x(u)) ist gleich : $\begin{eqnarray*} \frac{ay^{c-1}}{u} \end{eqnarray*}$

Dies stimmt allerdings nicht.
$\begin{eqnarray*} f(u)=\frac{-1}{cu} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(y)=1-ay^c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(y)=-cay^{c-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(u(y))=\frac{-1}{c(1-ay^c)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(u(y))u'(y)=\frac{-1}{c(1-ay^c)}(-cay^{c-1}) \end{eqnarray*}$
Hier sorgte u.U. die unterschiedliche Variablenbedeutung für Verwirrung.
Um die Substitutionsregel vielleicht etwas praktikabler zu formulieren.
1. geeigneten term zum substituieren finden
2. diesen ableiten
3. Term einsetzen
4. Durch die Ableitung teilen
Idealerweise, wie auch hier, kürzen sich die substituierten Variablen heraus.
Für das letzte Integral:
Die Konstante -1/c kann man vor das Integral ziehen übrig bleibt ein Standardintegral das man wissen oder nachschlagen müsste.
gruß
mathemaduenn

30.08.2004, 10:50

rafi

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hallo mathemaduenn,

tut mir leid aber ich habe noch immer nicht alles begriffen. Könntest du mir nochmals helfen bitte.

Also: den ersten Teil habe ich noch immer nicht ganz begriffen.

$\begin{eqnarray*} u(x) = 1 - ay^{c} \end{eqnarray*}$ aber wie kommst du nachher auf

$\begin{eqnarray*} f(u) = \frac{-1}{cu} \end{eqnarray*}$ ? Man probiert so viel wie möglich durch u zu ersetzen oder?

Dann nur noch eine Frage: wie kann man nachher in der letzten Gleichung die Variablen rauskürzen?

Vielen Dank für deine Geduld.

Gruss rafi

30.08.2004, 11:30

MisterSeaman

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Hallo rafi,

mathemadduenn hat sein u so gewählt, dass er sowohl u als auch u' ins Spiel bringen kann, also ein Integral in der Form

$\begin{eqnarray*} \int u'(y)*f(u(y)) dy \end{eqnarray*}$ erhält.

Also:

$\begin{eqnarray*} u = 1 - ay^c \quad \frac{du}{dy} = - cay^{c-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man die Substitutionsregel anwenden

$\begin{eqnarray*} \int \frac{cay^{c-1}}{1-ay^c}dy = -\int \frac{1}{u}*\frac{du}{dy} dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\int f(u)*\frac{du}{dy} dy = -\int{f(u) du} = -\int {\frac{1}{u} du} \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt noch die Konstante anpaßt, erhält man das von Dir gesuchte Integral.

Gruß

MisterSeaman

30.08.2004, 16:14

rafi

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danke mister seaman

den letzten Teil habe ich begriffen dank deiner Hilfe, das mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dy} \end{eqnarray*}$ *dy ist genial, darauf wäre ich nie gekommen.
Du hast da aber glaube ich ein c vergessen. Aber ist nicht so wichtig.

Den ersten Teil habe ich aber noch nicht begriffen, wie du oder mathemaduenn auf

$\begin{eqnarray*} f(u) = \frac{-1}{cu} \end{eqnarray*}$

kommt.

$\begin{eqnarray*} f(y) = \frac{ay^{c-1}}{1-ay^{c}} \end{eqnarray*}$ ist ja der Anfang. Dann definiert mann u, hier ist es gleich $\begin{eqnarray*} 1-ay^{c} \end{eqnarray*}$ . Dann differenziert man dieses. Das habe ich auch noch begriffen. Aber wie findet ihr nachher f(u) ? Eigentlich ja doch indem man alle möglichen u einsetzt gegen seinen Wert $\begin{eqnarray*} 1-ay^{c} \end{eqnarray*}$ . Oder nicht? Aber so finde ich das f(u) nicht heraus. Wie macht ihr das?

Gruss rafi

30.08.2004, 16:42

MisterSeaman

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Hi,

f(u) muss man ja gar nicht rausfinden.Es steht ja schon da.
Die Substitutionsregel heißt ja

$\begin{eqnarray*} \int{f(u)*\frac{du}{dy}dy} = \int{f(u)du} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mein u=1-ay^c wähle, habe ich damit auch schon die Ableitung
u' = -cay^{c-1}festgelegt. Das f(u) ist jetzt das, was ich noch dranmultiplizieren muss, damit das Integral wieder stimmt.

Also:

1.) Ich probiere aus $\begin{eqnarray*} u = 1-ay^c => u'=-cay^{c-1} \end{eqnarray*}$
2.) Ich sehe: Das gesuchte Integral kann ich dann schreiben als

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{c} \int {\frac{\frac{du}{dy}}{1-ay^c} dy}=-\frac{1}{c} \int {\frac{1}{u}*\frac{du}{dy}dy} \end{eqnarray*}$

3.) Da ich die Substitutionsregel anwenden möchte MUSS wegen der allgemeinen Formel für diese f(u) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$ sein.

Alles klar? smile

Gruß

MisterSeaman

30.08.2004, 17:26

rafi

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ja und woher kommt dan das $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{c} \end{eqnarray*}$ vor dem Integral??

gruss rafi

30.08.2004, 17:32

MisterSeaman

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Das -1/c kommt daher, dass Du ja nicht GANZ GENAU (laut Deiner Aufgabenstellung) das Integral ausrechnen willst, was man durch die Ableitung bekommt (ein -c zuviel). Deshalb teilt man dadurch, um die überflüssige Konstante wieder loszuwerden.

Deswegen hast Du glaube ich auch gemeint ich hätte weiter oben ein c vergessen - das habe ich aber nicht, ich habe ein etwas anderes Integral ausgerechnet. (Dein gesuchtes Integral mal c). Darauf kommt es aber bei der Substitutionsregel nicht an, sondern nur auf die Integrale ohne Vorfaktor.

Okay? smile

30.08.2004, 17:44

rafi

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sorry, die vorherige nachricht nicht beachten, ich habs begriffen.

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{c} * \frac{-cay^{c-1}}{1-ay^{c}} \end{eqnarray*}$ ist ja gleich die ausgangsformel. Das war es das ich die ganze Zeit gesucht hatte. Ich kam einfach nicht drauf woher dieser Term stammt.

Vielen Dank für deine Geduld. Wie gesagt, Integrale sind halt nicht so meine Stärke.

Gruss rafi

Mist, ich war zu spät. Du warst schneller. Trotzdem danke!

30.08.2004, 17:53

MisterSeaman

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Macht doch nichts.

Bitte! :]

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