Ableitung der Laguerre Polynome

17.06.2016, 12:27	jaganzgenau	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung der Laguerre Polynome Meine Frage: Hallo! Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} L_{n}(x) = -\sum\limits_{k=0}^{n-1} L_{k}(x) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Bereits versucht habe ich mit der Formel von Rodrigues zu arbeiten bzw diese abzuleiten und ich komme nach einigen Rechenschritten (Leibniz-Regel bez. der Ableitungen und einmal k := r-1) von $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}(\frac{e^{x} }{n!}\frac{d^{n}}{dx^{x}}(x^{n}e^{-x}) \end{eqnarray}$ auf folgenden Term. Habe versucht, mir das zurecht zu biegen, aber mir fehlt hier ja noch ne ganze Summe. Weiß nicht wo die herkommen soll. $\begin{eqnarray} -\sum\limits_{k=}^{n-1} \frac{n!x^{k}(-1)^{k}}{(n-k+1)!(k+1)!k!} \end{eqnarray}$ Das is dann wohl der falsche Weg? Naheliegend ist natürlich, die Erzeugende abzuleiten und einen Koeffizientenvergleich durchzuführen. $\begin{eqnarray} \frac{e^{-xt/(1-t)}}{1-t} = \sum\limits_{n=0}^{\infty } L_{n}(x)t^{n} \end{eqnarray}$ Hier leite ich also ab und schreibe die linke Seite wieder als Reihe der E-Funktion: $\begin{eqnarray} \frac{-t}{(1-t)^{2}} \sum\limits_{r=0}^{\infty } \frac{(-1)^{r}x^{r}t^{r}}{r!(1-t)^{r}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty } L_{n}'(x)t^{n} \end{eqnarray}$ Ich ziehe den Faktor in die Summe und möchte aber ja die t^n Koeff. vergleichen. Binomialentwicklung führt mich dann am Ende auf (und hier weiß ich wieder nicht weiter): $\begin{eqnarray} -\sum\limits_{r=0}^{\infty} \sum\limits_{s=0}^{\infty} \frac{(-1)^{r}x^{r}t^{r+s+1}(r+s+1)!}{r!s!(r+1)!} = \sum\limits_{n=0}^{\infty } L_{n}'(x)t^{n} \end{eqnarray}$ Wenn ich r+s+1 substituiere kam ich irgendwie auch nicht hin. Hat jemand eine kleine Hilfe? Sitze leider schon viel zu lange daran. Danke!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »