Integration, Diffbarkeit und Grenzwert

17.06.2016, 13:38

SumSumi

Integration, Diffbarkeit und Grenzwert

Meine Frage:
Hallo,

ich muss folgende Aufgabe lösen: Berechnen Sie die durch $\begin{eqnarray*} F(x) := \int_{\frac{\pi}{2}}^x \frac{1-cos^2 (t)}{(1-cos(t))^2 \cdot sin(t)} dt \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in I := (0|\pi) \end{eqnarray*}$ definierte Abbilung $\begin{eqnarray*} F : I \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ und bestimmen Sie in den Punkten in denen Differenzierbarkeit vorliegt die Ableitung, sowie im Falle der Konvergenz $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (x^2 \cdot F(x)) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi} F(x) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe eig nur das Problem die Substitution zu finden. Das müsste doch $\begin{eqnarray*} \tan(x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \tan(x/2) \end{eqnarray*}$ ?

Ich bedanke mich,

Susanne

17.06.2016, 14:16

HAL 9000

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Na ich würde eher $\begin{align*} u=1-\cos(t) \end{align*}$ vorschlagen. Augenzwinkern

17.06.2016, 14:28

SumSumi

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Hey HAL 9000

Zitat:

Original von HAL 9000
Na ich würde eher $\begin{align*} u=1-\cos(t) \end{align*}$ vorschlagen. Augenzwinkern

$\begin{align*} u=1-\cos(t) \end{align*}$ oder meinst du das zum Quadrat?

Irgendwie vereinfacht sich da nichts unglücklich

Susanne

17.06.2016, 14:35

Mulder

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Es ist $\begin{align*} 1-\cos^2(t) = \sin^2(t) \end{align*}$ .

17.06.2016, 14:38

SumSumi

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Ja genau. Dann hätte ich im Integranden nur noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{sin^3 (t)} \end{eqnarray*}$ aber ich komme irgendwie nicht auf die Lösung... unglücklich

wenn ich alles ersetuen würde..

Susanne

17.06.2016, 14:57

HAL 9000

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So hat es Mulder nicht gemeint: Im Zähler steht ja $\begin{align*} 1-\cos^2(t)=\sin^2(t) \end{align*}$ . Einmal kürzen wird daraus

$\begin{align*} F(x) = \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^x \frac{\sin(t)}{(1-\cos(t))^2} ~ \dd t \end{align*}$ ,

und jetzt schreit es aber wegen $\begin{align*} (1-\cos(t))'=\sin(t) \end{align*}$ wirklich nach $\begin{align*} u=1-\cos(t) \end{align*}$ . smile

P.S.: Wie du auf $\begin{align*} \sin^3(t) \end{align*}$ im Nenner kommst, ist mir schleierhaft. unglücklich

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