wurzel(n) divergent?

17.06.2016, 17:49

Dr. Inkognito

Folge 1+1/wurzel(2) + ... + 1/wurzel(n) divergent?

Hallo, ich war heute mit einer Aufgabe beschäftigt bei der mir die Logik noch nicht ganz klar ist.
Folgende Aufgabe verstehe ich:

Zeigen Sie, dass für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \ge 2 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Das hätte ich persönlich, wenn ich den Trick nicht kannte, über vollständige Induktion gemacht.

Man kann ja aber jeden Summanden mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ ersetzen, und sieht dann, dass jeder Summand kleiner ist, als jeder Summand in der ursprünglichen Summe(außer dem letzten Summanden).

Die neue Summe ist aber automatisch $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ was so nun bedeutet, dass die obere Aussage bewiesen ist.

Nun aber:
Beweisen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray*} <s_n> \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s_n := \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ divergiert.

Die Frage die sich mir stellt, ist ersteinmal die Frage in der Oberschrift. Ist der Grenzwert von 1/wurzel(k) nicht 0? da wurzel(k) immer größer wird. Oder warum ist 1/wurzel(k) keine Nullfolge?

Andersherum hab ich ja aber schon bewiesen, dass die Summe aus der ersten Aufgabe größer ist, als wurzel(n), was definitiv keine Nullfolge ist.....
Bitte helft mir bei meiner Verwirrung, ich werd noch verrückt

Danke smile

17.06.2016, 17:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dr. Inkognito
Die Frage die sich mir stellt, ist ersteinmal die Frage in der Oberschrift. Ist der Grenzwert von 1/wurzel(k) nicht 0?

Ja und?

Du sollst doch nicht beweisen, dass $\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{align*}$ divergiert, sondern dass $\begin{align*} s_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \end{align*}$ divergiert.

17.06.2016, 18:07

Dr. Inkognito

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ich dachte wenn eine Folge zu 0 konvergiert, dann wird der Wert der Summe aller Folgenglieder nie einen bestimmten wert übersteigen, da ich immer nur mit quasi 0 addiere.
Stimmt das nicht? Und wenn ja kannst du mir erklären warum das ein Gegenbeispiel ist?

17.06.2016, 18:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dr. Inkognito
Stimmt das nicht?

Es stimmt nicht. Und wenn du die Divergenz der Summe beweist, ist es doch offensichtlich eine Gegenbeispiel für diese deine Aussage:

Nimm an, die Summe $\begin{align*} s_n \end{align*}$ übersteigt nie einen gewissen Wert $\begin{align*} a \end{align*}$ . Nun findest du aber garantiert ein $\begin{align*} n \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sqrt{n}>a \end{align*}$ , daher...

17.06.2016, 18:57

Dr. Inkognito

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Alles klar, verstehe, dankeschön smile

Manchmal gibt es wohl Dinge selbst in der Mathematik, wo alles "logisch" ist, man aber etwas braucht bevor man die "Logik" dieser Dinge akzeptiert.

Vielleicht gilt das aber andersrum?
Also wenn ich weiß dass eine Reihe ganz ganz ganz bestimmt konvergiert, DANN ist die Folge der Summanden eine Nullfolge??

Aber wenn die Folge der Summanden eine Nullfolge ist, dann folgt nicht daraus, dass die Reihe konvergiert?

17.06.2016, 20:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dr. Inkognito
Also wenn ich weiß dass eine Reihe ganz ganz ganz bestimmt konvergiert, DANN ist die Folge der Summanden eine Nullfolge??

Das ist richtig.

17.06.2016, 20:31

Dr. Inkognito

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Alles klar smile

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Folge 1+1/wurzel(2) + ... + 1/wurzel(n) divergent?

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