Potenzreihe/Summe als rationale Funktion

17.06.2016, 19:07

mudmath

Potenzreihe/Summe als rationale Funktion

Hänge momentan an einer ekligen Aufgabe fest.

Kann mir da jemand weiterhelfen? Das einzige, dass mir dazu einfällt ist, dass n=5j+18 sein muss, wenn j in den natürlichen Zahlen liegt.. Alle anderen werden ja 0.

Gruß

17.06.2016, 22:01

HAL 9000

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Ich bin schon mit dem "und konvergiert darum auf (-1,1)" im Text nicht einverstanden:

Konvergenzradius 1 bedeutet für diese spezielle Potenzreihe, dass sie für die $\begin{align*} x \end{align*}$ mit $\begin{align*} |x+1|<1 \end{align*}$ konvergiert! Das ist aber nicht das x-Intervall $\begin{align*} (-1,1) \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} (-2,0) \end{align*}$ . unglücklich

Zitat:

Original von mudmath
dass n=5j+18 sein muss, wenn j in den natürlichen Zahlen liegt.. Alle anderen werden ja 0.

Sofern 0 bei dir nicht zu den natürlichen Zahlen gehört, stimmt das. Na dann setz das mal ein, durch Umindizierung der Summe:

$\begin{align*} f(x) = \sum_{j=1}^{\infty} 3(x+1)^{5j+18} \end{align*}$

Und mit der Summenformel der geometrischen Reihe bekommst du das Reihensymbol $\begin{align*} \sum_{j=1}^{\infty} \end{align*}$ weg. Augenzwinkern

17.06.2016, 22:06

mudmath

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das wäre ziemlich ärgerlich, wenn das nicht lösbar wäre. Habe deswegen den ersten Versuch eines E-Tests, der Klausurrelevant ist, vergeigt.

17.06.2016, 22:07

HAL 9000

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Naja, auf (-2,0) ist es ja lösbar - man muss halt auf den Fehler in der Aufgabenformulierung hinweisen.

17.06.2016, 22:08

Leopold

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Irgendwie ist da der Wurm drin. Der Entwicklungsmittelpunkt der Potenzreihe ist ja $\begin{align*} x_0=-1 \end{align*}$ . Wie kann da das Intervall $\begin{align*} (-1,1) \end{align*}$ der Konvergenzbereich sein?

Ansonsten gilt

$\begin{align*} \sum_{n=19}^{\infty} b_n (x+1)^n = \sum_{j=1}^{\infty} 3 (x+1)^{5j+18} = \sum_{j=0}^{\infty} 3 (x+1)^{5j+23} \end{align*}$

EDIT
Bin weg.

17.06.2016, 22:50

mudmath

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Ich bin jetzt auf 3/x^5 gekommen. Sieht mir irgendwie nicht richtig aus. Ich soll das ganze ja in die Form 1/(1-q) bringen. Irgendwie habe ich Probleme den Exponenten auf ein simples j runterzubrechen.

17.06.2016, 22:55

HAL 9000

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Es ist wenig hilfreich, nur das Endergebnis anzugeben. Da kannn ich zu

Zitat:

Original von mudmath
Ich bin jetzt auf 3/x^5 gekommen.

nämlich nur sagen "das ist falsch", aber nicht, wo du den Fehler gemacht hast. unglücklich

17.06.2016, 23:01

mudmath

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Ok. Ich werde mich morgen nochmal zu Wort melden. Bin ziemlich kaputt jetzt. Das ganze Latex rumgewurschtl ist heut enicht mehr drinne Big Laugh

20.06.2016, 16:17

mudmath

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$\begin{align*} \sum_{j=0}^{\infty} 3 (x+1)^{5j+23} \end{align*}$

könnte ich das denn folgendermaßen umschreiben?:

$\begin{align*} 3(x+1)^{23}\sum_{j=0}^{\infty} (x+1)^{j}*\sum_{j=0}^{\infty} (x+1)^{j}*\sum_{j=0}^{\infty} (x+1)^{j}*\sum_{j=0}^{\infty} (x+1)^{j}*\sum_{j=0}^{\infty} (x+1)^{j} \end{align*}$

Ich weiß gerade echt nicht, wie ich die Summenformel richtig anwenden kann hier.

20.06.2016, 16:25

HAL 9000

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Das geht natürlich nicht!!! Dass eine Regel der Form $\begin{align*} \sum_{j=0}^{\infty} a_jb_j \stackrel{?}{=} \sum_{j=0}^{\infty} a_j \cdot \sum_{j=0}^{\infty} b_j \end{align*}$ in höchstem Maße absurd falsch ist, sieht man an einfachsten Beispielen durch Einsetzen. unglücklich

$\begin{align*} \sum_{j=0}^{\infty} (x+1)^{5j} = \sum_{j=0}^{\infty} \left((x+1)^5\right)^j = \sum_{j=0}^{\infty} q^j \end{align*}$ mit $\begin{align*} q:=(x+1)^5 \end{align*}$ besitzt die Struktur einer geometrischen Reihe.

20.06.2016, 16:26

mudmath

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also dann wäre das ja einfach:

$\begin{align*} \sum_{j=0}^{\infty} -3 (x+1)^{23}/(x+1)^5 \end{align*}$

[/quote]

21.06.2016, 12:50

HAL 9000

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Mir ist nicht klar, was das jetzt bedeuten soll. unglücklich

Oben kommt mit meinem Hinweis jedenfalls raus

$\begin{align*} \sum_{j=0}^{\infty} 3 (x+1)^{5j+23} = \frac{3(x+1)^{23}}{1-(x+1)^5} \end{align*}$ für $\begin{align*} x\in (-2,0) \end{align*}$ .

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