Berechnung im rechtwinkeligen Dreieck

17.06.2016, 22:17

willyengland

Berechnung im rechtwinkeligen Dreieck

Bei Arndt Brünner gibt es diese Webseite:
"Rechner für rechtwinklige Dreiecke"

Nun habe ich da eingegeben:
a = 15
p = 8

Als Resultat erscheint beim Rechenweg:

code:
1: 2: 3:	c = (x + p)/2 q = (x - p)/2 mit: x = sqrt(4a² + p²)

Da interessiert mich, was es mit diesem x auf sich hat.
Woher kommt das 4a² + p²? Wie kommt man darauf?

17.06.2016, 22:23

HAL 9000

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Man definiert $\begin{align*} x=c+q \end{align*}$ , dann ist

$\begin{align*} x^2 = (c+q)^2 = (c-q)^2 + 4cq \end{align*}$ .

Es ist $\begin{align*} c-q=p \end{align*}$ , sowie wegen Kathetensatz $\begin{align*} cq = a^2 \end{align*}$ , alles klar?

17.06.2016, 22:45

riwe

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und wenn noch nicht

c(c-p) = a² aufgelöst

$\begin{eqnarray*} c=\frac{p}{2}+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{4a^2+p^2} \end{eqnarray*}$

18.06.2016, 09:02

willyengland

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Danke!

Frage: Warum dieser Umweg über das x?
Was soll diese Rechnung überhaupt?

Es würde doch reichen, so wie riwe es darstellt zu rechnen:
c(c-p) = a²

18.06.2016, 13:11

mYthos

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Das reicht auch, allerdings hast du dabei eine quadratische Gleichung mittels der Formel zu lösen.
Durch die (trickreiche) alternative Annahme

$\begin{eqnarray*} c = \frac{x+p} 2, \ q = \frac{x-p} 2 \end{eqnarray*}$

und die Anwendung einer binomischen Formel kann dies einfacher (ohne eine weitere quadr. Gl.) gestaltet werden:

$\begin{eqnarray*} 4cq = x^2 - p^2 \ \text{und mit Kath.Satz} \ \to \ x^2 = p^2 + 4a^2 \end{eqnarray*}$

mY+

18.06.2016, 15:49

willyengland

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Das stimmt, das ist sehr trickreich und ich bewundere, wie schnell du darauf gekommen bist.
Aber ich verstehe nicht, wie man sich sowas ausdenken kann.
Wie kommt man auf so eine Lösung? Das ist doch dreimal um die Ecke gedacht.

18.06.2016, 15:56

mYthos

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Der Autor wollte lediglich die allg. quadratische Gleichung umgehen.
Und dabei ist die Anwendung einer binomischen Formel (ähnlich wie bei der quadr. Ergänzung) naheliegend.

mY+

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