Gärtnerkonstruktion/Definition einer Ellipse

18.06.2016, 17:03

forbin

Gärtnerkonstruktion/Definition einer Ellipse

Hallo,

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
Für $\begin{eqnarray*} f_{1} = (1,0), f_{2}=(-1,0) \end{eqnarray*}$ soll gezeigt werden:
$\begin{eqnarray*} E = \{p : ||p-f_{1}|| + ||p-f_{2}|| = a\}, a>2 \end{eqnarray*}$ ist eine achsenparallele Ellipse.
Nun habe ich mir überlegt:
Sei p=(x,y). Dann ist $\begin{eqnarray*} p-f_{1} = (x-1,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p-f_{2} = (x+1,y). \end{eqnarray*}$
Außerdem:
$\begin{eqnarray*} ||p-f_{1}|| = \sqrt{(x-1)^2+y^2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} ||p-f_{2}|| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

Da ich mich bei der gegeben Gleichung jeweils in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{+}_{0} \end{eqnarray*}$ befinde, habe ich quadriert. Und es hebt sich auch alles wunderschön weg, zum Schluss bleibt die Gleichung:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = \frac{a^2}{4}-1 \end{eqnarray*}$ .
Und es passt ja auch wunderbar zur Voraussetzung, dass a>2 gilt.
Aber damit ist es doch immer ein Kreis. Der zwar auch eine Ellipse ist, aber darauf läuft das nicht hinaus.
Ich habe das drei mal nachgerechnet, ich habe wohl (leider) keinen Koeffizienten vor x oder y vergessen, obwohl ich damit am Ziel wäre (und es ja auch so sein muss.)
Wo ist denn nur der Fehler? verwirrt

18.06.2016, 17:36

Bürgi

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RE: Gärtnerkonstruktion / Definiton einer Ellipse
Guten Tag,

wenn ich Dich richtig verstehe, dann willst Du diese Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-1)^2+y^2} + \sqrt{(x+1)^2+y^2} =a \end{eqnarray*}$

durch Quadrieren vereinfachen(?).

Könnte es sein, dass Du dabei übersehen hast, dass die linke Seite der Gleichung ein Binom ist und Du die 1. binomische Formeln anwenden musst?

18.06.2016, 17:36

riwe

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RE: Gärtnerkonstruktion / Definiton einer Ellipse
du hast dich verrechnet, ich habe eine (eindeutige Augenzwinkern

) Ellipse.
ohne deine Rechnung kann man auch deinen Fehler nicht finden

18.06.2016, 17:45

mYthos

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Da ist bei dir zu viel "wunderschön" weggefallen, offensichtlich hast du falsch quadriert ...
Setze zur Probe $\begin{eqnarray*} \frac a 2 = \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} e = 1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} b^2 = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Ell: } 4x^2 + 5y^2 = 20 \end{eqnarray*}$

mY+

19.06.2016, 19:25

forbin

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Meine Rechnung sieht so aus:
Sei $\begin{eqnarray*} p=(x,y) => p-f_{1} = (x-1,y) ; p-f_{2} = (x+1,y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||p-f_{1}|| + ||p-f_{2}|| = a <=> \sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x+1)^2}+y^2=a \end{eqnarray*}$
Nun erhalte ich durch quadrieren:
$\begin{eqnarray*} (x-1)^2+y^2 + 2\cdot\sqrt{[(x-1)^2+y^2]\cdot[(x+1)^2+y^2]}+(x+1)^2+y^2 = a^2 \end{eqnarray*}$
Nun schaue ich mir mal den Radikanden an:

$\begin{eqnarray*} [(x-1)^2+y^2]\cdot[(x+1)^2+y^2] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = [(x+1)(x-y)]^2+[(x-1)y]^2+[(x+1)y]^2+y^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (x^2-1)^2 + (xy-y)^2+(xy+y)^2+y^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = x^4 - 2x^2 + 1 + (xy)^2 - 2xy^2 + y^2 + (xy)^2 + 2xy^2 + y^2 +y^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =x^4 -2x^2 + 2(xy)^2 + 2y^2 + y^4 + 1 \end{eqnarray*}$

Habe gemerkt, dass ich mich bei der ersten Rechnung vertan hatte.
Aber dieses Ergebnis bringt mich doch jetzt nicht weiter? Denn das hier kann ich leider nicht zu einem quadratischen Ausdruck umformen, damit am Ende die Wurzel wegfallen würde.

19.06.2016, 19:34

mYthos

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Du hast die Gleichung leider sehr ungünstig umgeformt!
Bringe doch zuerst die beiden Wurzeln auf verschiedene Seiten!

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+1)^2+y^2} = a - \sqrt{(x-1)^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Danach quadriere

$\begin{eqnarray*} x^2 + 2x + 1 + y^2 = a^2 - 2a \sqrt{(x-1)^2+y^2} + x^2 - 2x + 1 + y^2 \end{eqnarray*}$

Nun kannst du bereits einige Sachen schön reduzieren und danach nochmals quadrieren ...

mY+

19.06.2016, 20:21

forbin

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-1)^2+y^2} = a - \sqrt{(x+1)^2+y^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> (x-1)^2+y^2 = a^2 - 2a\sqrt{(x+1)^2+y^2}+(x+1)^2+2x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> x^2 -2x + 1 + y^2 = a^2 -2a\sqrt{(x+1)^2+y^2} + x^2 + 2x + 1+y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>a^2+4x=2a\sqrt{(x+1)^2+y^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>a^4 + 8xa^2 + 16x^2 = 4a^2x^2 + 8a^x + 4a^2 +a^2y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>x^2(4a^2-16) + y^2(4a^2) + 4a^2 = a^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>x^2(2a-4)(2a+4) + y^24a^4 + 4a^2 = a^4 \end{eqnarray*}$

Hm verwirrt

19.06.2016, 21:58

riwe

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Zitat:

Original von forbin
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-1)^2+y^2} = a - \sqrt{(x+1)^2+y^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> (x-1)^2+y^2 = a^2 - 2a\sqrt{(x+1)^2+y^2}+(x+1)^2+2x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> x^2 -2x + 1 + y^2 = a^2 -2a\sqrt{(x+1)^2+y^2} + x^2 + 2x + 1+y^2 \end{eqnarray*}$
...

2.Zeile ganz rechts unglücklich

19.06.2016, 22:57

forbin

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Oh verschrieben, aber der Schreibfehler hat sich nicht durchgezogen. Die dritte Zeile stimmt wieder.

20.06.2016, 02:41

mYthos

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Dafür die 5. Zeile ganz rechts nicht, der Fehler ist, dass der Koeffizient 4 beim letzten Term fehlt.
Wenn du den Fehler berichtigt hast, ordne nach $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ , schreibe rechts den konstanten Teil und bringe anschließend die Gleichung mittels Division durch diese Konstante auf .. = 1.
Damit kann man die Art des Kegelschnittes und die Achsenabschnitte ersehen ...

mY+

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