Wenn 3a^2 gerade, dann ist auch a gerade.

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Thaval Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn 3a^2 gerade, dann ist auch a gerade.
Hi,

ich sitze gerade etwas an einer Aufgabe fest, bei der wir folgendes zu zeigen haben:
Wenn 3a^2 gerade ist, dann ist auch a gerade mit a in Z.
Als erstes sollen wir diese Implikation mittels direktem Beweis durchführen (Stichwort: Primfaktorzerlegung) und zweitens mit einer Kontraposition.
Ich habe nun folgendes Problem: Eine Implikation gibt ja die Richtung von links nach rechts vor (wenn, dann).
Müssen beide Richtungen bewiesen werden? Also die Ungleichungen von links nach rechts und dann rechts nach links oder reicht eine Beweisform?
Ich meine, dass der direkte Beweis doch von links nach rechts und die Kontraposition von rechts nach links geht. Wenn ich also beide Richtungen zeigen soll, dann reicht jeweils eine Richtung (jeweils die gegenteilige Richtung) der beiden Beweisformen oder?
Das wirkliche Problem: Wie soll ich mir das Wissen zunutze machen, dass jede natürliche Zahl größer 2 als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann?

Also wenn das der Fall ist, dann ist 3*(a^2) eine gerade Zahl, weil 3 eine Primzahl ist. Konkret ja eigentlich für a=2k+1:
3*(4k^2 + 4k + 1) gerade |wegen Primfaktor
Ich denke hier liegt schon irgendwo ein Fehler. Wenn ich nämlich die 3 in die Klammer ziehe, habe ich als Summand hinten +3 und das ergäbe ja wieder eine ungerade Zahl, weil 3%2 != 0 ist.
Thaval Auf diesen Beitrag antworten »

OK nach reiflicher Überlegung, glaube ich, dass ich es habe.
Wenn a gerade ist (Voraussetung, 3a^2 gerade => a gerade, also muss a gerade sein), dann gibt es ja eine Zahl x in Z, so dass:
3*2*x = 3a^2 | :3
2*x = a^2 | -> a ist gerade
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

5 Minuten reifliche Überlegung sind offensichtlich zu wenig.
Direkter Beweis: Zu zeigen :
Beweis durch Kontraposition: Zu zeigen :
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