Parametrische Darstellung für Tangentialebene bestimmen

18.06.2016, 19:20	nelg	Auf diesen Beitrag antworten »
Parametrische Darstellung für Tangentialebene bestimmen Meine Frage: Hallo liebe Community, verzweifle an folgender Aufgabe (eher an der Teilaufgabe a) ): Gegeben ist die Funktion f(x,y) = ln(x²y²). a) Zu bestimmen ist die parametrische Darstellung der Tangentialebene im Punkt (1,1). b) Bestimmen Sie die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion in (1,1). (Okay hier muss ich nur den Gradienten berechnen, das ist nicht weiter schwer) c) Wie groß ist die Steigung der Funktion in (1,1) in Richtung des steilsten Anstiegs? (Frage an der Stelle: Was genau ist damit gemeint und wie soll ich das verstehen?) Meine Ideen: Bei der a) habe ich nun im Netz ein wenig rumgestöbert und konnte die Koordinatenform der Tangentialebene bestimmen: (Partielle Ableitungen, Taylorentwicklung usw.) t(x,y) = 2x + 2y - 4 Habe die Funktion und meine errechnete Ebene in WolframAlpha mal plotten lassen (siehe Bild) - Müsste soweit also stimmen. Jedoch bin ich mir nicht sicher, ob meine errechnete Parameterform so hinhaut, habe da irgendwie meine Zweifel. Meine Bitte also: könnte einer von euch bitte mal drübergucken wo mein Fehler ist? Jedenfalls bekomme ich für die Parameterform folgendes raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wo ist mein Fehler? Wenn jemand das richtige Ergebnis hat, könnte derjenige dies hier bitte mal posten? Danke euch schon mal im Voraus. P.S.: Mit t(x,y) kommt bei mir kein Spurpunkt für die z-Koordinate raus -> Ebene verläuft parallel zur z-Achse, laut Plotter ist dies aber nicht der Fall! nelg
19.06.2016, 15:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Tangentialebene t(x,y) = 2x + 2y - 4 ist richtig, wobei für t(x,y) = z zu setzen ist. Damit hat diese Ebene in der Tat einen Spurpunkt auf der z-Achse 2x + 2y - z = 4 --> Sz = (0; 0; -4) Das kann man auch damit kontrollieren, weil der Normalvektor (2; 2; -1)T der (R3-)Gradient in R3 ist. Die Parameterform stimmt nicht, weil der Richtungsvektor bei $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ falsch ist. Von der Koordinatenform zur Parameterform gelangst du, indem du in z = 2x + 2y - 4 für x = 1 + $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und für y = 1 + $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ setzst. Dies deswegen, weil der Stützpunkt X0(1; 1; 0) lautet. Alternativ bekommst du die beiden Richtungsvektoren der Tangentialebene als (1; 0; fx) und (0; 1; fy); fx, fy sind die partiellen Ableitungen bzw. der R2-Gradient an dem Punkt X0 mY+

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