Asymptotisch korrekter Fehlerschätzer

18.06.2016, 19:44

Patrick1234567

Asymptotisch korrekter Fehlerschätzer

Hallo,

es geht um einen Beweis, und zwar soll ich von

$\begin{eqnarray*} I(k) - \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \leq ck^{-p} + O(k^{-q}) \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} I(k) - \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx - \frac{1}{2^p - 1} (I(k/2) - I(k)) = O(k^{-q}) \end{eqnarray*}$

schließen. I(k) ist die Approximation des Integrals mit Unterteilung in k Teilintervalle bezüglich der Simpsonregel. Ich schätze, dass c eine Konstante ist.

Ich weiß nicht wirklich wie ich das genau machen soll. Rein logisch müsste ich ja nur irgendwie von ck^{-p} auf 1/(2^p - 1)*(I(k/2) - I(k)) schließen, und auf echte gleichheit (nicht größer gleich) bringen. k^{-p} dürfe in 1/(2^p - 1) übergehen und c in (I(k/2) - I(k)) (die Konstante c dürfte eine Schranke von (I(k/2) - I(k)) sein). Hat jemand eine Idee dazu?

LG,
Patrick

22.06.2016, 09:33

Patrick1234567

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RE: Asymptotisch korrekter Fehlerschätzer
hat keiner eine Idee wie das funktionieren könnte? traurig

22.06.2016, 09:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Patrick1234567
$\begin{eqnarray*} I(k) - \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \leq ck^{-p} + O(k^{-q}) \end{eqnarray*}$

Das $\begin{align*} \leq \end{align*}$ finde ich seltsam - meinst du da nicht eher = ? verwirrt

Mit $\begin{align*} \leq \end{align*}$ ist die Aussage ziemlich wertlos, da z.B. auch ein $\begin{align*} I(k)\to -\infty \end{align*}$ das locker erfüllt. unglücklich

P.S.: Oder aber du meinst $\begin{eqnarray*} \left| I(k) - \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \right| \leq ck^{-p} + O(k^{-q}) \end{eqnarray*}$ , das würde auch noch passen.

------------------------------------------------------------------------------------------

OK, sagen wir =. Dann ergibt die Subtraktion von

$\begin{align*} I(k) - \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x &= ck^{-p} + O\left(k^{-q}\right)\\ I(k/2) - \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x &= c(k/2)^{-p} + O\left((k/2)^{-q}\right) = 2^p ck^{-p} + O\left(k^{-q}\right) \end{align*}$

die Gleichung

$\begin{align*} I(k/2) - I(k) &= \left(2^p-1\right) ck^{-p} + O\left(k^{-q}\right) \end{align*}$ ,

woraus die Behauptung dann schnell folgt.

22.06.2016, 13:30

Patrick1234567

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ich habs nochmal kontrolliert, es ist wirklich kein = oder betrag....

ich hab da noch ein problem wenn ich von deinem Ansatz weiterrechne:

$\begin{eqnarray*} I(k/2)-I(k)=(2^p-1)ck^{-p}+O(k-q) \end{eqnarray*}$

div durch (2^p - 1) ergibt (ich glaube die O(k^-q) "schluckt" die division weils big O ist):

$\begin{eqnarray*} (I(k/2)-I(k)) * \frac{1}{2^{p}-1} = ck^{-p}+O(k^{-q}) \end{eqnarray*}$

das schaut schon fast wie die zielformel aus:
$\begin{eqnarray*} -ck^{-p} + (I(k/2)-I(k)) * \frac{1}{2^{p}-1} = O(k^{-q}) \end{eqnarray*}$

aus der initialen formel ck^-p ausdrücken und einsetzen ergibt aber:

$\begin{eqnarray*} -I(k) + \int\limits_a^b f(x) + O(k^{-q}) + (I(k/2)-I(k)) * \frac{1}{2^{p}-1} = O(k^{-q}) \end{eqnarray*}$

damit fallen aber die O(...) weg und es stimmt nicht mehr

23.06.2016, 00:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Patrick1234567
damit fallen aber die O(...) weg und es stimmt nicht mehr

Sag jetzt nicht, du rechnest $\begin{align*} O\left(k^{-q}\right) - O\left(k^{-q}\right) \stackrel{???}{=} 0 \end{align*}$ . unglücklich

Falls doch, dann wird es wohl höchste Zeit, dass du beim Rechnen mit Landau-Symbolen nachsitzt.

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