Extrema mit Nebenbedingung

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Oggel Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema mit Nebenbedingung
Hallo liebe Community,

würde bei folgender Aufgabe gerne wissen, ob ich richtig gerechnet habe:

Habe zunächst die partiellen Ableitungen gebildet:




Damit habe ich den Gradienten
Jetzt habe ich geschaut wann der Gradient 0 wird, also die beiden Ableitungen 0 gesetzt. Und das kann ja nur bei , da die e Funktion nie 0 wird.

Dann habe ich die 2. Ableitungen gebildet:








Dann habe ich die Hesse Matrix gebildet, und die Punkte eingesetzt:

Da die Hesse Matrix indefinit ist, weiß ich doch, dass es im Inneren auf jeden Fall keine Extrema gibt oder?

Jetzt habe ich die Lagrange Funktion aufgestellt, um den Rand zu prüfen mit der Nebenbedingung:
und diese 3 mal abgeleitet:







Dann habe ich die 3 Ableitungen 0 gesetzt und komme auf das Ergebnis:

oder


Das wären doch die beiden Extrema auf dem Rand oder?

Danke schonmal für eure Antworten smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Bis zum Ende sieht es gut aus. Aber die Punkte die du ausgerechnet hast, unterscheiden sich nur durch Vorzeichen -- und die Funktion sieht keine Vorzeichen. D.h. deine 2 Extreme haben den gleichen Wert -- und weil du damit vermutlich Minimum und Maximum meinst, folgert man daraus sofort, dass die Funktion konstant ist. Also kann das nicht sein.

Ferner sollte offensichtlich sein, dass zu den Minima und zu den Maxima führt, wenn man sich die Funktionen und die Menge einmal anschaut.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Ah Okay. Also meinst du damit, habe ich einen Rechenfehler gemacht beim Nullsetzen der Lagrange Funktion?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das -- oder du hast Lösungen unterschlagen. Ohne Nachrechnen kann ich nur sagen, dass das nicht Lösungen oder Lösungen, bloss nicht alle Lösungen, sind.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Also hier mal mein Rechenweg:
1. Gleichung 0 gesetzt und nach aufgelöst:


2. Gleichung 0 gesetzt und nach aufgelöst:


Dann habe ich die beiden Gleichungen gleichgesetzt und nach aufgelöst:


Dann habe ich in die 3. Gleichung eingesetzt:


Ist das soweit richtig? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

In den letzten "Äquivalenzen" der ersten beiden Zeilen teilst du durch 0, falls x oder y jeweils 0 sein. Damit verlierst du die globalen Extrema.

Edit: Das, und du hast die erste Zeile falsch abgeschrieben...
 
 
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Ah stimmt.
Was würdest du empfehlen? 1. Gleichung nach x, 2. nach y und dann in die 3. einsetzen?

Stimmt denn die Aussage, dass es im Inneren kein Extrema gibt, da die Hesse Matrix indefinit?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du korrekt gerechnet hast, hast du bereits alle Lösungen mit . Um die restlichen zu bestimmen, setze einfach überall ein und löse nach auf, und vice versa.

Edit: Ja, das stimmt. Man kann sich leicht überlegen, dass für jeden Punkt gilt, dass die Funktionswerte größer werden, wenn man ein wenig vergrößert, und niedriger wenn man das gleiche bei tut.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Wenn du korrekt gerechnet hast, hast du bereits alle Lösungen mit . Um die restlichen zu bestimmen, setze einfach überall ein und löse nach auf, und vice versa.



Die Idee verstehe ich nicht ganz. Wieso habe ich alle Lösungen mit ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Weil deine Äquivalenzen (Modulo Abschreibfehler) dann wirklich Äquivalenzen sind. D.h. für gehen deine Rechnungen gut und du bekommst deine bisherigen beiden Lösungen. Es bleibt die Fälle gesondert zu betrachten, die du ausschließen musstest, damit diese Rechnungen legitim sind. Und das sind eben und ...
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Diese blöden Abschreibfehler Hammer Ich versuche es nochmal:
1. Gleichung 0 gesetzt:






2. Gleichung 0 gesetzt:







Hier habe ich eine Frage ich teile hier durch dadurch schließe ich doch nur aus, dass ist oder? Das habe ich vorher ja auch gemacht aber du hast gesagt ich schließe aus.
Auf jeden Fall muss ich den Fall nachher noch betrachten.

beide gleichgesetzt














und zuletzt in die 3. Gleichung eingesetzt:








Ist das soweit richtig? Natürlich für ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Oggel
Hier habe ich eine Frage ich teile hier durch dadurch schließe ich doch nur aus, dass ist oder? Das habe ich vorher ja auch gemacht aber du hast gesagt ich schließe aus.

und hier
Zitat:
Original von Oggel


.

schreibst du es nicht explizit, aber hier teilst du durch x.

Beim letzten Wurzel ziehen fehlt noch , ansonste sollt es richtig, wenn auch sehr ineffizient sein. Z.B. bei 2. Gleichung gleich 0 setzen hättest du einfach einsetzen können und dann durch teilen können. Hättest dir wohl ewta 7 Umformungsschritte sparen können.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh Okay stimmt Big Laugh naja Hauptsache die Lösung ist da.

Dann habe ich noch den Fall:


Hier würde es ja reichen die 3. Gleichung zu betrachten oder? mit x=0 eingesetzt:




Und der Fall :




Zusammengefasst:
1 Extremum bei
1 Extremum bei
1 Extremum bei

Oder?
Woher weiß ich wo ein Minimum bzw Maximum ist?
smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

...Mich hat die ganze Zeit gestoert, warum deine Loesungen nicht invariant unter Vorzeichenwechsel sind. Du hast es geschafft schon wieder eine Gleichung falsch abzuschreiben....

Wie dem auch sei: Setze die Loesungen in die Funktion ein und schaue nach welcher der hoechste Wert und welcher der niedrigste ist. Das sind dann die Maxima bzw. Minima.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
...Mich hat die ganze Zeit gestoert, warum deine Loesungen nicht invariant unter Vorzeichenwechsel sind. Du hast es geschafft schon wieder eine Gleichung falsch abzuschreiben....


Mhh Wo denn? Bin nochmal durchgegangen mir ist nichts aufgefallen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema mit Nebenbedingung
Im ersten Post:
Zitat:
.

Jetzt
Zitat:
2. Gleichung 0 gesetzt:



Wirklich nichts?
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Forum Kloppe Oh man Sorry. Asche auf mein Haupt.
Ich rechne das nachher nochmal von Anfang an durch.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Also neuer Versuch, ich hoffe du guckst noch einmal drüber trotz meiner Patzer Gott

Fasse nochmal zusammen. Ich habe folgende Gleichungen:
1.
2.
3.

1. Gleichung nach aufgelöst:




Für :



in 2. Gleichung eingesetzt und nach aufgelöst:






in 3. Gleichung eingesetzt und nach aufgelöst:





und zuletzt noch einmal für dafür habe ich die 3. Gleichung nach y aufgelöst:




Also zusammengefasst.
1 Extremum bei
1 Estremum bei

Dann zum Schluss in die Funktion eingesetzt:
--> Maximum

--> Minimum

Hoffe jetzt ist es richtig? Danke für deine Mühe smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ist es richtig. Naechstes Mal also etwas konzentrierter an die Sache gehen.

Wie in dem anderen Thread kann man auch die Randbedingung umschreiben zu und eingesetzt in ergibt das .

Die Monotonie der Funktion ist offensichtlich und damit das Verhalten von am Rand.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar danke für den Tipp und die Mühe smile
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